Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26879 / 10501
↖ ↑ ↗
← N 54.130259°
E115.301514°		 ← 715.78 m → N 54.130259°
E115.312500°		 →
↑
715.85 m
↓
↑
715.85 m
↓
N 54.123822°
E115.301514°		 ← 715.89 m →
512 424 m²		 N 54.123822°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820297241210938 y=0.320480346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820297241210938 × 215)
    floor (0.820297241210938 × 32768)
    floor (26879.5)     		tx = 26879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320480346679688 × 215)
    floor (0.320480346679688 × 32768)
    floor (10501.5)     		ty = 10501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26879 / 10501 ti = "15/26879/10501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26879/10501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26879 ÷ 215
    26879 ÷ 32768     		x = 0.820281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10501 ÷ 215
    10501 ÷ 32768     		y = 0.320465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820281982421875 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01239105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320465087890625 × 2 - 1) × π
    0.35906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12805112185916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01239105} λ = 2.01239105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12805112185916))-π/2
    2×atan(3.08962931786961)-π/2
    2×1.25777379069259-π/2
    2.51554758138518-1.57079632675     		φ = 0.94475125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01239105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94475125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.130259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26879 KachelY 10501 2.01239105 0.94475125 115.301514 54.130259
    Oben rechts KachelX + 1 26880 KachelY 10501 2.01258279 0.94475125 115.312500 54.130259
    Unten links KachelX 26879 KachelY + 1 10502 2.01239105 0.94463889 115.301514 54.123822
    Unten rechts KachelX + 1 26880 KachelY + 1 10502 2.01258279 0.94463889 115.312500 54.123822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94475125-0.94463889) × R
    0.000112360000000034 × 6371000     		dl = 715.845560000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94475125-0.94463889) × R
    0.000112360000000034 × 6371000     		dr = 715.845560000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01239105-2.01258279) × cos(0.94475125) × R
    0.000191739999999996 × 0.585944472006548 × 6371000     		do = 715.775434801398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01239105-2.01258279) × cos(0.94463889) × R
    0.000191739999999996 × 0.586035519369062 × 6371000     		du = 715.886656032427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94475125)-sin(0.94463889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585944472006548-0.586035519369062)×R²
    abs(2.01258279-2.01239105)×9.10473625147512e-05×R²
    0.000191739999999996×9.10473625147512e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.10473625147512e-05×40589641000000     		ar = 512424.476111275m²