Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26878 / 12028
↖ ↑ ↗
← N 43.100983°
E115.290527°		 ← 891.98 m → N 43.100983°
E115.301514°		 →
↑
892 m
↓
↑
892 m
↓
N 43.092961°
E115.290527°		 ← 892.10 m →
795 702 m²		 N 43.092961°
E115.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820266723632812 y=0.367080688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820266723632812 × 215)
    floor (0.820266723632812 × 32768)
    floor (26878.5)     		tx = 26878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367080688476562 × 215)
    floor (0.367080688476562 × 32768)
    floor (12028.5)     		ty = 12028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26878 / 12028 ti = "15/26878/12028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26878/12028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26878 ÷ 215
    26878 ÷ 32768     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12028 ÷ 215
    12028 ÷ 32768     		y = 0.3670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.835252538979858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835252538979858))-π/2
    2×atan(2.30539617717755)-π/2
    2×1.16152519440633-π/2
    2.32305038881265-1.57079632675     		φ = 0.75225406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75225406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.100983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26878 KachelY 12028 2.01219930 0.75225406 115.290527 43.100983
    Oben rechts KachelX + 1 26879 KachelY 12028 2.01239105 0.75225406 115.301514 43.100983
    Unten links KachelX 26878 KachelY + 1 12029 2.01219930 0.75211405 115.290527 43.092961
    Unten rechts KachelX + 1 26879 KachelY + 1 12029 2.01239105 0.75211405 115.301514 43.092961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75225406-0.75211405) × R
    0.000140009999999968 × 6371000     		dl = 892.003709999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75225406-0.75211405) × R
    0.000140009999999968 × 6371000     		dr = 892.003709999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01239105) × cos(0.75225406) × R
    0.000191750000000379 × 0.730150556734798 × 6371000     		do = 891.980578518345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01239105) × cos(0.75211405) × R
    0.000191750000000379 × 0.730246216492516 × 6371000     		du = 892.097440233019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75225406)-sin(0.75211405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730150556734798-0.730246216492516)×R²
    abs(2.01239105-2.01219930)×9.56597577179696e-05×R²
    0.000191750000000379×9.56597577179696e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.56597577179696e-05×40589641000000     		ar = 795702.1071271m²