Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26878 / 10505
↖ ↑ ↗
← N 54.104502°
E115.290527°		 ← 716.26 m → N 54.104502°
E115.301514°		 →
↑
716.29 m
↓
↑
716.29 m
↓
N 54.098060°
E115.290527°		 ← 716.37 m →
513 089 m²		 N 54.098060°
E115.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820266723632812 y=0.320602416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820266723632812 × 215)
    floor (0.820266723632812 × 32768)
    floor (26878.5)     		tx = 26878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320602416992188 × 215)
    floor (0.320602416992188 × 32768)
    floor (10505.5)     		ty = 10505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26878 / 10505 ti = "15/26878/10505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26878/10505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26878 ÷ 215
    26878 ÷ 32768     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10505 ÷ 215
    10505 ÷ 32768     		y = 0.320587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320587158203125 × 2 - 1) × π
    0.35882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12728413146524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12728413146524))-π/2
    2×atan(3.08726051040444)-π/2
    2×1.2575490139652-π/2
    2.51509802793041-1.57079632675     		φ = 0.94430170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94430170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.104502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26878 KachelY 10505 2.01219930 0.94430170 115.290527 54.104502
    Oben rechts KachelX + 1 26879 KachelY 10505 2.01239105 0.94430170 115.301514 54.104502
    Unten links KachelX 26878 KachelY + 1 10506 2.01219930 0.94418927 115.290527 54.098060
    Unten rechts KachelX + 1 26879 KachelY + 1 10506 2.01239105 0.94418927 115.301514 54.098060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94430170-0.94418927) × R
    0.000112430000000052 × 6371000     		dl = 716.291530000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94430170-0.94418927) × R
    0.000112430000000052 × 6371000     		dr = 716.291530000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01239105) × cos(0.94430170) × R
    0.000191750000000379 × 0.58630870617028 × 6371000     		do = 716.257728075748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01239105) × cos(0.94418927) × R
    0.000191750000000379 × 0.586399780625925 × 6371000     		du = 716.368988205436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94430170)-sin(0.94418927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58630870617028-0.586399780625925)×R²
    abs(2.01239105-2.01219930)×9.1074455644824e-05×R²
    0.000191750000000379×9.1074455644824e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.1074455644824e-05×40589641000000     		ar = 513089.191803282m²