Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26878 / 10476
↖ ↑ ↗
← N 54.290882°
E115.290527°		 ← 713.03 m → N 54.290882°
E115.301514°		 →
↑
713.11 m
↓
↑
713.11 m
↓
N 54.284469°
E115.290527°		 ← 713.15 m →
508 509 m²		 N 54.284469°
E115.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820266723632812 y=0.319717407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820266723632812 × 215)
    floor (0.820266723632812 × 32768)
    floor (26878.5)     		tx = 26878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319717407226562 × 215)
    floor (0.319717407226562 × 32768)
    floor (10476.5)     		ty = 10476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26878 / 10476 ti = "15/26878/10476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26878/10476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26878 ÷ 215
    26878 ÷ 32768     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10476 ÷ 215
    10476 ÷ 32768     		y = 0.3197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3197021484375 × 2 - 1) × π
    0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13284481182117))-π/2
    2×atan(3.1044755987208)-π/2
    2×1.2591754826596-π/2
    2.51835096531921-1.57079632675     		φ = 0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26878 KachelY 10476 2.01219930 0.94755464 115.290527 54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 26879 KachelY 10476 2.01239105 0.94755464 115.301514 54.290882
    Unten links KachelX 26878 KachelY + 1 10477 2.01219930 0.94744271 115.290527 54.284469
    Unten rechts KachelX + 1 26879 KachelY + 1 10477 2.01239105 0.94744271 115.301514 54.284469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94755464-0.94744271) × R
    0.000111929999999982 × 6371000     		dl = 713.106029999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94755464-0.94744271) × R
    0.000111929999999982 × 6371000     		dr = 713.106029999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01239105) × cos(0.94755464) × R
    0.000191750000000379 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 713.034721075871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01239105) × cos(0.94744271) × R
    0.000191750000000379 × 0.583761324508106 × 6371000     		du = 713.145746652499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94755464)-sin(0.94744271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.583761324508106)×R²
    abs(2.01239105-2.01219930)×9.08824570161615e-05×R²
    0.000191750000000379×9.08824570161615e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.08824570161615e-05×40589641000000     		ar = 508508.946233123m²