Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26877 / 10577
↖ ↑ ↗
← N 53.638125°
E115.279541°		 ← 724.29 m → N 53.638125°
E115.290527°		 →
↑
724.32 m
↓
↑
724.32 m
↓
N 53.631611°
E115.279541°		 ← 724.40 m →
524 657 m²		 N 53.631611°
E115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820236206054688 y=0.322799682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820236206054688 × 215)
    floor (0.820236206054688 × 32768)
    floor (26877.5)     		tx = 26877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322799682617188 × 215)
    floor (0.322799682617188 × 32768)
    floor (10577.5)     		ty = 10577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26877 / 10577 ti = "15/26877/10577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26877/10577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26877 ÷ 215
    26877 ÷ 32768     		x = 0.820220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10577 ÷ 215
    10577 ÷ 32768     		y = 0.322784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820220947265625 × 2 - 1) × π
    0.64044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01200755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322784423828125 × 2 - 1) × π
    0.35443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11347830437466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01200755} λ = 2.01200755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11347830437466))-π/2
    2×atan(3.04493119356039)-π/2
    2×1.25347910385554-π/2
    2.50695820771109-1.57079632675     		φ = 0.93616188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01200755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93616188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.638125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26877 KachelY 10577 2.01200755 0.93616188 115.279541 53.638125
    Oben rechts KachelX + 1 26878 KachelY 10577 2.01219930 0.93616188 115.290527 53.638125
    Unten links KachelX 26877 KachelY + 1 10578 2.01200755 0.93604819 115.279541 53.631611
    Unten rechts KachelX + 1 26878 KachelY + 1 10578 2.01219930 0.93604819 115.290527 53.631611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93616188-0.93604819) × R
    0.000113690000000055 × 6371000     		dl = 724.318990000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93616188-0.93604819) × R
    0.000113690000000055 × 6371000     		dr = 724.318990000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01200755-2.01219930) × cos(0.93616188) × R
    0.000191749999999935 × 0.592883178190482 × 6371000     		do = 724.289361141991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01200755-2.01219930) × cos(0.93604819) × R
    0.000191749999999935 × 0.592974727606015 × 6371000     		du = 724.401201501321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93616188)-sin(0.93604819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592883178190482-0.592974727606015)×R²
    abs(2.01219930-2.01200755)×9.15494155335761e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15494155335761e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15494155335761e-05×40589641000000     		ar = 524657.043143152m²