Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26874 / 10570
↖ ↑ ↗
← N 53.683695°
E115.246582°		 ← 723.51 m → N 53.683695°
E115.257569°		 →
↑
723.55 m
↓
↑
723.55 m
↓
N 53.677188°
E115.246582°		 ← 723.62 m →
523 537 m²		 N 53.677188°
E115.257569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820144653320312 y=0.322586059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820144653320312 × 215)
    floor (0.820144653320312 × 32768)
    floor (26874.5)     		tx = 26874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322586059570312 × 215)
    floor (0.322586059570312 × 32768)
    floor (10570.5)     		ty = 10570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26874 / 10570 ti = "15/26874/10570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26874/10570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26874 ÷ 215
    26874 ÷ 32768     		x = 0.82012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10570 ÷ 215
    10570 ÷ 32768     		y = 0.32257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82012939453125 × 2 - 1) × π
    0.6402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01143231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32257080078125 × 2 - 1) × π
    0.3548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11482053756403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01143231} λ = 2.01143231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11482053756403))-π/2
    2×atan(3.049020945354)-π/2
    2×1.25387678259148-π/2
    2.50775356518297-1.57079632675     		φ = 0.93695724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01143231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93695724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.683695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26874 KachelY 10570 2.01143231 0.93695724 115.246582 53.683695
    Oben rechts KachelX + 1 26875 KachelY 10570 2.01162406 0.93695724 115.257569 53.683695
    Unten links KachelX 26874 KachelY + 1 10571 2.01143231 0.93684367 115.246582 53.677188
    Unten rechts KachelX + 1 26875 KachelY + 1 10571 2.01162406 0.93684367 115.257569 53.677188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93695724-0.93684367) × R
    0.000113570000000007 × 6371000     		dl = 723.554470000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93695724-0.93684367) × R
    0.000113570000000007 × 6371000     		dr = 723.554470000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01143231-2.01162406) × cos(0.93695724) × R
    0.000191749999999935 × 0.592242496483858 × 6371000     		do = 723.506679222423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01143231-2.01162406) × cos(0.93684367) × R
    0.000191749999999935 × 0.592334002802623 × 6371000     		du = 723.618466933049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93695724)-sin(0.93684367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592242496483858-0.592334002802623)×R²
    abs(2.01162406-2.01143231)×9.15063187647558e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15063187647558e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15063187647558e-05×40589641000000     		ar = 523536.934637616m²