Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26872 / 10492
↖ ↑ ↗
← N 54.188156°
E115.224609°		 ← 714.81 m → N 54.188156°
E115.235596°		 →
↑
714.89 m
↓
↑
714.89 m
↓
N 54.181726°
E115.224609°		 ← 714.92 m →
511 052 m²		 N 54.181726°
E115.235596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820083618164062 y=0.320205688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820083618164062 × 215)
    floor (0.820083618164062 × 32768)
    floor (26872.5)     		tx = 26872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320205688476562 × 215)
    floor (0.320205688476562 × 32768)
    floor (10492.5)     		ty = 10492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26872 / 10492 ti = "15/26872/10492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26872/10492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26872 ÷ 215
    26872 ÷ 32768     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10492 ÷ 215
    10492 ÷ 32768     		y = 0.3201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3201904296875 × 2 - 1) × π
    0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12977685024548))-π/2
    2×atan(3.09496578220627)-π/2
    2×1.25827902775166-π/2
    2.51655805550331-1.57079632675     		φ = 0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26872 KachelY 10492 2.01104881 0.94576173 115.224609 54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 26873 KachelY 10492 2.01124056 0.94576173 115.235596 54.188156
    Unten links KachelX 26872 KachelY + 1 10493 2.01104881 0.94564952 115.224609 54.181726
    Unten rechts KachelX + 1 26873 KachelY + 1 10493 2.01124056 0.94564952 115.235596 54.181726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94576173-0.94564952) × R
    0.000112209999999946 × 6371000     		dl = 714.889909999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94576173-0.94564952) × R
    0.000112209999999946 × 6371000     		dr = 714.889909999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01124056) × cos(0.94576173) × R
    0.000191749999999935 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 714.812068460147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01124056) × cos(0.94564952) × R
    0.000191749999999935 × 0.585216321531311 × 6371000     		du = 714.923228123028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94576173)-sin(0.94564952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585216321531311)×R²
    abs(2.01124056-2.01104881)×9.0992216303265e-05×R²
    0.000191749999999935×9.0992216303265e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.0992216303265e-05×40589641000000     		ar = 511051.669284569m²