Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26871 / 25142
↖ ↑ ↗
← S 68.871439°
E115.213623°		 ← 440.33 m → S 68.871439°
E115.224609°		 →
↑
440.30 m
↓
↑
440.30 m
↓
S 68.875399°
E115.213623°		 ← 440.25 m →
193 860 m²		 S 68.875399°
E115.224609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820053100585938 y=0.767288208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820053100585938 × 215)
    floor (0.820053100585938 × 32768)
    floor (26871.5)     		tx = 26871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767288208007812 × 215)
    floor (0.767288208007812 × 32768)
    floor (25142.5)     		ty = 25142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26871 / 25142 ti = "15/26871/25142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26871/25142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26871 ÷ 215
    26871 ÷ 32768     		x = 0.820037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25142 ÷ 215
    25142 ÷ 32768     		y = 0.76727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820037841796875 × 2 - 1) × π
    0.64007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01085707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67932546748981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01085707} λ = 2.01085707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67932546748981))-π/2
    2×atan(0.186499733754368)-π/2
    2×0.184381480252099-π/2
    0.368762960504198-1.57079632675     		φ = -1.20203337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01085707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20203337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.871439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26871 KachelY 25142 2.01085707 -1.20203337 115.213623 -68.871439
    Oben rechts KachelX + 1 26872 KachelY 25142 2.01104881 -1.20203337 115.224609 -68.871439
    Unten links KachelX 26871 KachelY + 1 25143 2.01085707 -1.20210248 115.213623 -68.875399
    Unten rechts KachelX + 1 26872 KachelY + 1 25143 2.01104881 -1.20210248 115.224609 -68.875399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20203337--1.20210248) × R
    6.91099999998723e-05 × 6371000     		dl = 440.299809999187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20203337--1.20210248) × R
    6.91099999998723e-05 × 6371000     		dr = 440.299809999187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01085707-2.01104881) × cos(-1.20203337) × R
    0.000191739999999996 × 0.360461826365646 × 6371000     		do = 440.331350191991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01085707-2.01104881) × cos(-1.20210248) × R
    0.000191739999999996 × 0.360397361496087 × 6371000     		du = 440.252601484148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20203337)-sin(-1.20210248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360461826365646-0.360397361496087)×R²
    abs(2.01104881-2.01085707)×6.44648695594663e-05×R²
    0.000191739999999996×6.44648695594663e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.44648695594663e-05×40589641000000     		ar = 193860.473383194m²