Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26871 / 10489
↖ ↑ ↗
← N 54.207436°
E115.213623°		 ← 714.44 m → N 54.207436°
E115.224609°		 →
↑
714.51 m
↓
↑
714.51 m
↓
N 54.201010°
E115.213623°		 ← 714.55 m →
510 514 m²		 N 54.201010°
E115.224609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820053100585938 y=0.320114135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820053100585938 × 215)
    floor (0.820053100585938 × 32768)
    floor (26871.5)     		tx = 26871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320114135742188 × 215)
    floor (0.320114135742188 × 32768)
    floor (10489.5)     		ty = 10489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26871 / 10489 ti = "15/26871/10489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26871/10489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26871 ÷ 215
    26871 ÷ 32768     		x = 0.820037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10489 ÷ 215
    10489 ÷ 32768     		y = 0.320098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820037841796875 × 2 - 1) × π
    0.64007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01085707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320098876953125 × 2 - 1) × π
    0.35980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13035209304092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01085707} λ = 2.01085707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13035209304092))-π/2
    2×atan(3.09674665114153)-π/2
    2×1.25844728306616-π/2
    2.51689456613232-1.57079632675     		φ = 0.94609824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01085707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94609824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26871 KachelY 10489 2.01085707 0.94609824 115.213623 54.207436
    Oben rechts KachelX + 1 26872 KachelY 10489 2.01104881 0.94609824 115.224609 54.207436
    Unten links KachelX 26871 KachelY + 1 10490 2.01085707 0.94598609 115.213623 54.201010
    Unten rechts KachelX + 1 26872 KachelY + 1 10490 2.01104881 0.94598609 115.224609 54.201010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94609824-0.94598609) × R
    0.000112149999999978 × 6371000     		dl = 714.507649999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94609824-0.94598609) × R
    0.000112149999999978 × 6371000     		dr = 714.507649999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01085707-2.01104881) × cos(0.94609824) × R
    0.000191739999999996 × 0.58485240580328 × 6371000     		do = 714.441393439425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01085707-2.01104881) × cos(0.94598609) × R
    0.000191739999999996 × 0.58494337144591 × 6371000     		du = 714.552514843442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94609824)-sin(0.94598609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58485240580328-0.58494337144591)×R²
    abs(2.01104881-2.01085707)×9.09656426296701e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09656426296701e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09656426296701e-05×40589641000000     		ar = 510513.540170505m²