Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26871 / 10485
↖ ↑ ↗
← N 54.233130°
E115.213623°		 ← 714 m → N 54.233130°
E115.224609°		 →
↑
714.13 m
↓
↑
714.13 m
↓
N 54.226708°
E115.213623°		 ← 714.11 m →
509 923 m²		 N 54.226708°
E115.224609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820053100585938 y=0.319992065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820053100585938 × 215)
    floor (0.820053100585938 × 32768)
    floor (26871.5)     		tx = 26871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319992065429688 × 215)
    floor (0.319992065429688 × 32768)
    floor (10485.5)     		ty = 10485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26871 / 10485 ti = "15/26871/10485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26871/10485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26871 ÷ 215
    26871 ÷ 32768     		x = 0.820037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10485 ÷ 215
    10485 ÷ 32768     		y = 0.319976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820037841796875 × 2 - 1) × π
    0.64007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01085707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319976806640625 × 2 - 1) × π
    0.36004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13111908343485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01085707} λ = 2.01085707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13111908343485))-π/2
    2×atan(3.09912273717646)-π/2
    2×1.25867150139298-π/2
    2.51734300278596-1.57079632675     		φ = 0.94654668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01085707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94654668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.233130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26871 KachelY 10485 2.01085707 0.94654668 115.213623 54.233130
    Oben rechts KachelX + 1 26872 KachelY 10485 2.01104881 0.94654668 115.224609 54.233130
    Unten links KachelX 26871 KachelY + 1 10486 2.01085707 0.94643459 115.213623 54.226708
    Unten rechts KachelX + 1 26872 KachelY + 1 10486 2.01104881 0.94643459 115.224609 54.226708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94654668-0.94643459) × R
    0.000112090000000009 × 6371000     		dl = 714.125390000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94654668-0.94643459) × R
    0.000112090000000009 × 6371000     		dr = 714.125390000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01085707-2.01104881) × cos(0.94654668) × R
    0.000191739999999996 × 0.584488599507991 × 6371000     		do = 713.996976567802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01085707-2.01104881) × cos(0.94643459) × R
    0.000191739999999996 × 0.584579545877294 × 6371000     		du = 714.108074427995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94654668)-sin(0.94643459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584488599507991-0.584579545877294)×R²
    abs(2.01104881-2.01085707)×9.09463693032908e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09463693032908e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09463693032908e-05×40589641000000     		ar = 509923.038785933m²