Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26870 / 25141
↖ ↑ ↗
← S 68.867478°
E115.202637°		 ← 440.43 m → S 68.867478°
E115.213623°		 →
↑
440.43 m
↓
↑
440.43 m
↓
S 68.871439°
E115.202637°		 ← 440.35 m →
193 961 m²		 S 68.871439°
E115.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820022583007812 y=0.767257690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820022583007812 × 215)
    floor (0.820022583007812 × 32768)
    floor (26870.5)     		tx = 26870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767257690429688 × 215)
    floor (0.767257690429688 × 32768)
    floor (25141.5)     		ty = 25141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26870 / 25141 ti = "15/26870/25141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26870/25141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26870 ÷ 215
    26870 ÷ 32768     		x = 0.82000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25141 ÷ 215
    25141 ÷ 32768     		y = 0.767242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82000732421875 × 2 - 1) × π
    0.6400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01066532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.53448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67913371989133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01066532} λ = 2.01066532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67913371989133))-π/2
    2×atan(0.186535498059183)-π/2
    2×0.184416042187911-π/2
    0.368832084375822-1.57079632675     		φ = -1.20196424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01066532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20196424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.867478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26870 KachelY 25141 2.01066532 -1.20196424 115.202637 -68.867478
    Oben rechts KachelX + 1 26871 KachelY 25141 2.01085707 -1.20196424 115.213623 -68.867478
    Unten links KachelX 26870 KachelY + 1 25142 2.01066532 -1.20203337 115.202637 -68.871439
    Unten rechts KachelX + 1 26871 KachelY + 1 25142 2.01085707 -1.20203337 115.213623 -68.871439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20196424--1.20203337) × R
    6.91300000001949e-05 × 6371000     		dl = 440.427230001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20196424--1.20203337) × R
    6.91300000001949e-05 × 6371000     		dr = 440.427230001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01066532-2.01085707) × cos(-1.20196424) × R
    0.000191749999999935 × 0.360526308168552 × 6371000     		do = 440.43308871615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01066532-2.01085707) × cos(-1.20203337) × R
    0.000191749999999935 × 0.360461826365646 × 6371000     		du = 440.354315214809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20196424)-sin(-1.20203337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360526308168552-0.360461826365646)×R²
    abs(2.01085707-2.01066532)×6.44818029058025e-05×R²
    0.000191749999999935×6.44818029058025e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.44818029058025e-05×40589641000000     		ar = 193961.378343809m²