Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26870 / 10486
↖ ↑ ↗
← N 54.226708°
E115.202637°		 ← 714.15 m → N 54.226708°
E115.213623°		 →
↑
714.19 m
↓
↑
714.19 m
↓
N 54.220285°
E115.202637°		 ← 714.26 m →
510 074 m²		 N 54.220285°
E115.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820022583007812 y=0.320022583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820022583007812 × 215)
    floor (0.820022583007812 × 32768)
    floor (26870.5)     		tx = 26870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320022583007812 × 215)
    floor (0.320022583007812 × 32768)
    floor (10486.5)     		ty = 10486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26870 / 10486 ti = "15/26870/10486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26870/10486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26870 ÷ 215
    26870 ÷ 32768     		x = 0.82000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10486 ÷ 215
    10486 ÷ 32768     		y = 0.32000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82000732421875 × 2 - 1) × π
    0.6400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01066532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32000732421875 × 2 - 1) × π
    0.3599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13092733583636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01066532} λ = 2.01066532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13092733583636))-π/2
    2×atan(3.09852854480351)-π/2
    2×1.25861545989066-π/2
    2.51723091978132-1.57079632675     		φ = 0.94643459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01066532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94643459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.226708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26870 KachelY 10486 2.01066532 0.94643459 115.202637 54.226708
    Oben rechts KachelX + 1 26871 KachelY 10486 2.01085707 0.94643459 115.213623 54.226708
    Unten links KachelX 26870 KachelY + 1 10487 2.01066532 0.94632249 115.202637 54.220285
    Unten rechts KachelX + 1 26871 KachelY + 1 10487 2.01085707 0.94632249 115.213623 54.220285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94643459-0.94632249) × R
    0.000112099999999948 × 6371000     		dl = 714.189099999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94643459-0.94632249) × R
    0.000112099999999948 × 6371000     		dr = 714.189099999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01066532-2.01085707) × cos(0.94643459) × R
    0.000191749999999935 × 0.584579545877294 × 6371000     		do = 714.145317990636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01066532-2.01085707) × cos(0.94632249) × R
    0.000191749999999935 × 0.58467049301455 × 6371000     		du = 714.256422583184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94643459)-sin(0.94632249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584579545877294-0.58467049301455)×R²
    abs(2.01085707-2.01066532)×9.09471372562143e-05×R²
    0.000191749999999935×9.09471372562143e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.09471372562143e-05×40589641000000     		ar = 510074.477303396m²