Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2687 / 2943
↖ ↑ ↗
← N 45.120053°
W 61.918946°		 ← 3 448.07 m → N 45.120053°
W 61.875000°		 →
↑
3 448.94 m
↓
↑
3 448.94 m
↓
N 45.089036°
W 61.918946°		 ← 3 449.94 m →
11 895 421 m²		 N 45.089036°
W 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32806396484375 y=0.35931396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32806396484375 × 213)
    floor (0.32806396484375 × 8192)
    floor (2687.5)     		tx = 2687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35931396484375 × 213)
    floor (0.35931396484375 × 8192)
    floor (2943.5)     		ty = 2943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2687 / 2943 ti = "13/2687/2943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2687/2943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2687 ÷ 213
    2687 ÷ 8192     		x = 0.3280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2943 ÷ 213
    2943 ÷ 8192     		y = 0.3592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.343994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.08068947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3592529296875 × 2 - 1) × π
    0.281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.884339924190796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08068947} λ = -1.08068947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884339924190796))-π/2
    2×atan(2.42138556583377)-π/2
    2×1.1791449037678-π/2
    2.35828980753559-1.57079632675     		φ = 0.78749348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08068947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.918946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78749348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.120053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2687 KachelY 2943 -1.08068947 0.78749348 -61.918946 45.120053
    Oben rechts KachelX + 1 2688 KachelY 2943 -1.07992247 0.78749348 -61.875000 45.120053
    Unten links KachelX 2687 KachelY + 1 2944 -1.08068947 0.78695213 -61.918946 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 2688 KachelY + 1 2944 -1.07992247 0.78695213 -61.875000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78749348-0.78695213) × R
    0.000541349999999996 × 6371000     		dl = 3448.94084999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78749348-0.78695213) × R
    0.000541349999999996 × 6371000     		dr = 3448.94084999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08068947--1.07992247) × cos(0.78749348) × R
    0.000766999999999962 × 0.705623617469134 × 6371000     		do = 3448.07002730895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08068947--1.07992247) × cos(0.78695213) × R
    0.000766999999999962 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 3449.94397340658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78749348)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705623617469134-0.706007107541517)×R²
    abs(-1.07992247--1.08068947)×0.000383490072382253×R²
    0.000766999999999962×0.000383490072382253×6371000²
    0.000766999999999962×0.000383490072382253×40589641000000     		ar = 11895421.4259757m²