Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26869 / 6406
↖ ↑ ↗
← N 80.867598°
W 32.404175°		 ← 96.94 m → N 80.867598°
W 32.398682°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
N 80.866726°
W 32.404175°		 ← 96.95 m →
9 401 m²		 N 80.866726°
W 32.398682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409996032714844 y=0.0977554321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409996032714844 × 216)
    floor (0.409996032714844 × 65536)
    floor (26869.5)     		tx = 26869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977554321289062 × 216)
    floor (0.0977554321289062 × 65536)
    floor (6406.5)     		ty = 6406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26869 / 6406 ti = "16/26869/6406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26869/6406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26869 ÷ 216
    26869 ÷ 65536     		x = 0.409988403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6406 ÷ 216
    6406 ÷ 65536     		y = 0.097747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409988403320312 × 2 - 1) × π
    -0.180023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56555954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097747802734375 × 2 - 1) × π
    0.80450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52742509556784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56555954} λ = -0.56555954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52742509556784))-π/2
    2×atan(12.5212236380886)-π/2
    2×1.49110108125437-π/2
    2.98220216250875-1.57079632675     		φ = 1.41140584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56555954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.404175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41140584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.867598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26869 KachelY 6406 -0.56555954 1.41140584 -32.404175 80.867598
    Oben rechts KachelX + 1 26870 KachelY 6406 -0.56546367 1.41140584 -32.398682 80.867598
    Unten links KachelX 26869 KachelY + 1 6407 -0.56555954 1.41139062 -32.404175 80.866726
    Unten rechts KachelX + 1 26870 KachelY + 1 6407 -0.56546367 1.41139062 -32.398682 80.866726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41140584-1.41139062) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dl = 96.9666200005956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41140584-1.41139062) × R
    1.52200000000935e-05 × 6371000     		dr = 96.9666200005956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56555954--0.56546367) × cos(1.41140584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158716448991986 × 6371000     		do = 96.9420659421319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56555954--0.56546367) × cos(1.41139062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158731476048026 × 6371000     		du = 96.9512442841801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41140584)-sin(1.41139062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158716448991986-0.158731476048026)×R²
    abs(-0.56546367--0.56555954)×1.50270560398402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50270560398402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50270560398402e-05×40589641000000     		ar = 9400.58946692293m²