Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26869 / 10637
↖ ↑ ↗
← N 53.245495°
E115.191650°		 ← 731.01 m → N 53.245495°
E115.202637°		 →
↑
731.01 m
↓
↑
731.01 m
↓
N 53.238921°
E115.191650°		 ← 731.13 m →
534 418 m²		 N 53.238921°
E115.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819992065429688 y=0.324630737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819992065429688 × 215)
    floor (0.819992065429688 × 32768)
    floor (26869.5)     		tx = 26869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324630737304688 × 215)
    floor (0.324630737304688 × 32768)
    floor (10637.5)     		ty = 10637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26869 / 10637 ti = "15/26869/10637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26869/10637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26869 ÷ 215
    26869 ÷ 32768     		x = 0.819976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10637 ÷ 215
    10637 ÷ 32768     		y = 0.324615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819976806640625 × 2 - 1) × π
    0.63995361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01047357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324615478515625 × 2 - 1) × π
    0.35076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10197344846585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01047357} λ = 2.01047357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10197344846585))-π/2
    2×atan(3.01010044448814)-π/2
    2×1.25005276518324-π/2
    2.50010553036649-1.57079632675     		φ = 0.92930920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01047357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92930920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.245495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26869 KachelY 10637 2.01047357 0.92930920 115.191650 53.245495
    Oben rechts KachelX + 1 26870 KachelY 10637 2.01066532 0.92930920 115.202637 53.245495
    Unten links KachelX 26869 KachelY + 1 10638 2.01047357 0.92919446 115.191650 53.238921
    Unten rechts KachelX + 1 26870 KachelY + 1 10638 2.01066532 0.92919446 115.202637 53.238921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92930920-0.92919446) × R
    0.000114739999999891 × 6371000     		dl = 731.008539999306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92930920-0.92919446) × R
    0.000114739999999891 × 6371000     		dr = 731.008539999306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01047357-2.01066532) × cos(0.92930920) × R
    0.000191750000000379 × 0.598387598653849 × 6371000     		do = 731.013777230234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01047357-2.01066532) × cos(0.92919446) × R
    0.000191750000000379 × 0.598479525179003 × 6371000     		du = 731.126078281479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92930920)-sin(0.92919446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598387598653849-0.598479525179003)×R²
    abs(2.01066532-2.01047357)×9.1926525154884e-05×R²
    0.000191750000000379×9.1926525154884e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.1926525154884e-05×40589641000000     		ar = 534418.361112922m²