Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26866 / 10474
↖ ↑ ↗
← N 54.303705°
E115.158692°		 ← 712.78 m → N 54.303705°
E115.169677°		 →
↑
712.85 m
↓
↑
712.85 m
↓
N 54.297294°
E115.158692°		 ← 712.89 m →
508 142 m²		 N 54.297294°
E115.169677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819900512695312 y=0.319656372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819900512695312 × 215)
    floor (0.819900512695312 × 32768)
    floor (26866.5)     		tx = 26866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319656372070312 × 215)
    floor (0.319656372070312 × 32768)
    floor (10474.5)     		ty = 10474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26866 / 10474 ti = "15/26866/10474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26866/10474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26866 ÷ 215
    26866 ÷ 32768     		x = 0.81988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10474 ÷ 215
    10474 ÷ 32768     		y = 0.31964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81988525390625 × 2 - 1) × π
    0.6397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00989833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31964111328125 × 2 - 1) × π
    0.3607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13322830701813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00989833} λ = 2.00989833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13322830701813))-π/2
    2×atan(3.10566637851656)-π/2
    2×1.25928738264104-π/2
    2.51857476528208-1.57079632675     		φ = 0.94777844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00989833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.158692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94777844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.303705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26866 KachelY 10474 2.00989833 0.94777844 115.158692 54.303705
    Oben rechts KachelX + 1 26867 KachelY 10474 2.01009007 0.94777844 115.169677 54.303705
    Unten links KachelX 26866 KachelY + 1 10475 2.00989833 0.94766655 115.158692 54.297294
    Unten rechts KachelX + 1 26867 KachelY + 1 10475 2.01009007 0.94766655 115.169677 54.297294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94777844-0.94766655) × R
    0.000111890000000003 × 6371000     		dl = 712.851190000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94777844-0.94766655) × R
    0.000111890000000003 × 6371000     		dr = 712.851190000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00989833-2.01009007) × cos(0.94777844) × R
    0.000191739999999996 × 0.583488703928234 × 6371000     		do = 712.775528585016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00989833-2.01009007) × cos(0.94766655) × R
    0.000191739999999996 × 0.58357956852278 × 6371000     		du = 712.886526551166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94777844)-sin(0.94766655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583488703928234-0.58357956852278)×R²
    abs(2.01009007-2.00989833)×9.08645945463249e-05×R²
    0.000191739999999996×9.08645945463249e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.08645945463249e-05×40589641000000     		ar = 508142.446800771m²