Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26864 / 12559
↖ ↑ ↗
← N 38.694085°
E115.136719°		 ← 953.48 m → N 38.694085°
E115.147705°		 →
↑
953.55 m
↓
↑
953.55 m
↓
N 38.685510°
E115.136719°		 ← 953.60 m →
909 246 m²		 N 38.685510°
E115.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819839477539062 y=0.383285522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819839477539062 × 215)
    floor (0.819839477539062 × 32768)
    floor (26864.5)     		tx = 26864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383285522460938 × 215)
    floor (0.383285522460938 × 32768)
    floor (12559.5)     		ty = 12559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26864 / 12559 ti = "15/26864/12559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26864/12559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26864 ÷ 215
    26864 ÷ 32768     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12559 ÷ 215
    12559 ÷ 32768     		y = 0.383270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383270263671875 × 2 - 1) × π
    0.23345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.733434564186859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733434564186859))-π/2
    2×atan(2.08221985830333)-π/2
    2×1.12306775595265-π/2
    2.24613551190531-1.57079632675     		φ = 0.67533919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67533919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.694085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26864 KachelY 12559 2.00951483 0.67533919 115.136719 38.694085
    Oben rechts KachelX + 1 26865 KachelY 12559 2.00970658 0.67533919 115.147705 38.694085
    Unten links KachelX 26864 KachelY + 1 12560 2.00951483 0.67518952 115.136719 38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 26865 KachelY + 1 12560 2.00970658 0.67518952 115.147705 38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67533919-0.67518952) × R
    0.000149669999999991 × 6371000     		dl = 953.54756999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67533919-0.67518952) × R
    0.000149669999999991 × 6371000     		dr = 953.54756999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.00970658) × cos(0.67533919) × R
    0.000191749999999935 × 0.78049494730554 × 6371000     		do = 953.483262054806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.00970658) × cos(0.67518952) × R
    0.000191749999999935 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 953.597557728185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67533919)-sin(0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78049494730554-0.78058850657304)×R²
    abs(2.00970658-2.00951483)×9.35592675000985e-05×R²
    0.000191749999999935×9.35592675000985e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.35592675000985e-05×40589641000000     		ar = 909246.142446712m²