Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26864 / 12558
↖ ↑ ↗
← N 38.702659°
E115.136719°		 ← 953.37 m → N 38.702659°
E115.147705°		 →
↑
953.36 m
↓
↑
953.36 m
↓
N 38.694085°
E115.136719°		 ← 953.48 m →
908 955 m²		 N 38.694085°
E115.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819839477539062 y=0.383255004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819839477539062 × 215)
    floor (0.819839477539062 × 32768)
    floor (26864.5)     		tx = 26864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383255004882812 × 215)
    floor (0.383255004882812 × 32768)
    floor (12558.5)     		ty = 12558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26864 / 12558 ti = "15/26864/12558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26864/12558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26864 ÷ 215
    26864 ÷ 32768     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12558 ÷ 215
    12558 ÷ 32768     		y = 0.38323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38323974609375 × 2 - 1) × π
    0.2335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.733626311785339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733626311785339))-π/2
    2×atan(2.08261915724175)-π/2
    2×1.12314258048373-π/2
    2.24628516096746-1.57079632675     		φ = 0.67548883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67548883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.702659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26864 KachelY 12558 2.00951483 0.67548883 115.136719 38.702659
    Oben rechts KachelX + 1 26865 KachelY 12558 2.00970658 0.67548883 115.147705 38.702659
    Unten links KachelX 26864 KachelY + 1 12559 2.00951483 0.67533919 115.136719 38.694085
    Unten rechts KachelX + 1 26865 KachelY + 1 12559 2.00970658 0.67533919 115.147705 38.694085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67548883-0.67533919) × R
    0.000149640000000062 × 6371000     		dl = 953.356440000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67548883-0.67533919) × R
    0.000149640000000062 × 6371000     		dr = 953.356440000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.00970658) × cos(0.67548883) × R
    0.000191749999999935 × 0.780401389312454 × 6371000     		do = 953.368967938301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.00970658) × cos(0.67533919) × R
    0.000191749999999935 × 0.78049494730554 × 6371000     		du = 953.483262054806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67548883)-sin(0.67533919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780401389312454-0.78049494730554)×R²
    abs(2.00970658-2.00951483)×9.35579930858577e-05×R²
    0.000191749999999935×9.35579930858577e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.35579930858577e-05×40589641000000     		ar = 908954.928492421m²