Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26862 / 25130
↖ ↑ ↗
← S 68.823866°
E115.114746°		 ← 441.28 m → S 68.823866°
E115.125732°		 →
↑
441.26 m
↓
↑
441.26 m
↓
S 68.827834°
E115.114746°		 ← 441.20 m →
194 699 m²		 S 68.827834°
E115.125732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819778442382812 y=0.766921997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819778442382812 × 215)
    floor (0.819778442382812 × 32768)
    floor (26862.5)     		tx = 26862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766921997070312 × 215)
    floor (0.766921997070312 × 32768)
    floor (25130.5)     		ty = 25130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26862 / 25130 ti = "15/26862/25130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26862/25130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26862 ÷ 215
    26862 ÷ 32768     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25130 ÷ 215
    25130 ÷ 32768     		y = 0.76690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.5338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67702449630804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67702449630804))-π/2
    2×atan(0.186929358354502)-π/2
    2×0.18479663170326-π/2
    0.369593263406521-1.57079632675     		φ = -1.20120306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20120306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.823866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26862 KachelY 25130 2.00913134 -1.20120306 115.114746 -68.823866
    Oben rechts KachelX + 1 26863 KachelY 25130 2.00932308 -1.20120306 115.125732 -68.823866
    Unten links KachelX 26862 KachelY + 1 25131 2.00913134 -1.20127232 115.114746 -68.827834
    Unten rechts KachelX + 1 26863 KachelY + 1 25131 2.00932308 -1.20127232 115.125732 -68.827834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20120306--1.20127232) × R
    6.92599999998489e-05 × 6371000     		dl = 441.255459999037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20120306--1.20127232) × R
    6.92599999998489e-05 × 6371000     		dr = 441.255459999037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00932308) × cos(-1.20120306) × R
    0.000191739999999996 × 0.36123619357457 × 6371000     		do = 441.27729823339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00932308) × cos(-1.20127232) × R
    0.000191739999999996 × 0.361171609534761 × 6371000     		du = 441.198403950085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20120306)-sin(-1.20127232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36123619357457-0.361171609534761)×R²
    abs(2.00932308-2.00913134)×6.45840398092457e-05×R²
    0.000191739999999996×6.45840398092457e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.45840398092457e-05×40589641000000     		ar = 194698.61102984m²