Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26862 / 25122
↖ ↑ ↗
← S 68.792094°
E115.114746°		 ← 441.91 m → S 68.792094°
E115.125732°		 →
↑
441.89 m
↓
↑
441.89 m
↓
S 68.796068°
E115.114746°		 ← 441.83 m →
195 259 m²		 S 68.796068°
E115.125732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819778442382812 y=0.766677856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819778442382812 × 215)
    floor (0.819778442382812 × 32768)
    floor (26862.5)     		tx = 26862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766677856445312 × 215)
    floor (0.766677856445312 × 32768)
    floor (25122.5)     		ty = 25122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26862 / 25122 ti = "15/26862/25122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26862/25122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26862 ÷ 215
    26862 ÷ 32768     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25122 ÷ 215
    25122 ÷ 32768     		y = 0.76666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.5333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6754905155202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6754905155202))-π/2
    2×atan(0.187216324442863)-π/2
    2×0.185073894627907-π/2
    0.370147789255814-1.57079632675     		φ = -1.20064854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20064854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.792094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26862 KachelY 25122 2.00913134 -1.20064854 115.114746 -68.792094
    Oben rechts KachelX + 1 26863 KachelY 25122 2.00932308 -1.20064854 115.125732 -68.792094
    Unten links KachelX 26862 KachelY + 1 25123 2.00913134 -1.20071790 115.114746 -68.796068
    Unten rechts KachelX + 1 26863 KachelY + 1 25123 2.00932308 -1.20071790 115.125732 -68.796068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20064854--1.20071790) × R
    6.93599999999073e-05 × 6371000     		dl = 441.892559999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20064854--1.20071790) × R
    6.93599999999073e-05 × 6371000     		dr = 441.892559999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00932308) × cos(-1.20064854) × R
    0.000191739999999996 × 0.361753213685652 × 6371000     		do = 441.908877354776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00932308) × cos(-1.20071790) × R
    0.000191739999999996 × 0.361688550298292 × 6371000     		du = 441.829886142444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20064854)-sin(-1.20071790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361753213685652-0.361688550298292)×R²
    abs(2.00932308-2.00913134)×6.46633873599423e-05×R²
    0.000191739999999996×6.46633873599423e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.46633873599423e-05×40589641000000     		ar = 195258.792364625m²