Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26861 / 10478
↖ ↑ ↗
← N 54.278055°
E115.103760°		 ← 713.26 m → N 54.278055°
E115.114746°		 →
↑
713.30 m
↓
↑
713.30 m
↓
N 54.271640°
E115.103760°		 ← 713.37 m →
508 804 m²		 N 54.271640°
E115.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819747924804688 y=0.319778442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819747924804688 × 215)
    floor (0.819747924804688 × 32768)
    floor (26861.5)     		tx = 26861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319778442382812 × 215)
    floor (0.319778442382812 × 32768)
    floor (10478.5)     		ty = 10478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26861 / 10478 ti = "15/26861/10478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26861/10478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26861 ÷ 215
    26861 ÷ 32768     		x = 0.819732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10478 ÷ 215
    10478 ÷ 32768     		y = 0.31976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819732666015625 × 2 - 1) × π
    0.63946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00893959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31976318359375 × 2 - 1) × π
    0.3604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13246131662421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00893959} λ = 2.00893959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13246131662421))-π/2
    2×atan(3.10328527549581)-π/2
    2×1.2590635478277-π/2
    2.5181270956554-1.57079632675     		φ = 0.94733077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00893959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.103760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94733077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.278055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26861 KachelY 10478 2.00893959 0.94733077 115.103760 54.278055
    Oben rechts KachelX + 1 26862 KachelY 10478 2.00913134 0.94733077 115.114746 54.278055
    Unten links KachelX 26861 KachelY + 1 10479 2.00893959 0.94721881 115.103760 54.271640
    Unten rechts KachelX + 1 26862 KachelY + 1 10479 2.00913134 0.94721881 115.114746 54.271640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94733077-0.94721881) × R
    0.000111960000000022 × 6371000     		dl = 713.29716000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94733077-0.94721881) × R
    0.000111960000000022 × 6371000     		dr = 713.29716000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00893959-2.00913134) × cos(0.94733077) × R
    0.000191749999999935 × 0.58385220777017 × 6371000     		do = 713.256773210953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00893959-2.00913134) × cos(0.94721881) × R
    0.000191749999999935 × 0.583943099952129 × 6371000     		du = 713.367810667952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94733077)-sin(0.94721881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58385220777017-0.583943099952129)×R²
    abs(2.00913134-2.00893959)×9.08921819590125e-05×R²
    0.000191749999999935×9.08921819590125e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.08921819590125e-05×40589641000000     		ar = 508803.632564708m²