Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26860 / 10482
↖ ↑ ↗
← N 54.252389°
E115.092773°		 ← 713.70 m → N 54.252389°
E115.103760°		 →
↑
713.74 m
↓
↑
713.74 m
↓
N 54.245970°
E115.092773°		 ← 713.81 m →
509 439 m²		 N 54.245970°
E115.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819717407226562 y=0.319900512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819717407226562 × 215)
    floor (0.819717407226562 × 32768)
    floor (26860.5)     		tx = 26860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319900512695312 × 215)
    floor (0.319900512695312 × 32768)
    floor (10482.5)     		ty = 10482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26860 / 10482 ti = "15/26860/10482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26860/10482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26860 ÷ 215
    26860 ÷ 32768     		x = 0.8197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10482 ÷ 215
    10482 ÷ 32768     		y = 0.31988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8197021484375 × 2 - 1) × π
    0.639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00874784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31988525390625 × 2 - 1) × π
    0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00874784} λ = 2.00874784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13169432623029))-π/2
    2×atan(3.10090599805802)-π/2
    2×1.25883957359153-π/2
    2.51767914718306-1.57079632675     		φ = 0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00874784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.092773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26860 KachelY 10482 2.00874784 0.94688282 115.092773 54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 26861 KachelY 10482 2.00893959 0.94688282 115.103760 54.252389
    Unten links KachelX 26860 KachelY + 1 10483 2.00874784 0.94677079 115.092773 54.245970
    Unten rechts KachelX + 1 26861 KachelY + 1 10483 2.00893959 0.94677079 115.103760 54.245970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94688282-0.94677079) × R
    0.000112030000000041 × 6371000     		dl = 713.743130000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94688282-0.94677079) × R
    0.000112030000000041 × 6371000     		dr = 713.743130000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00874784-2.00893959) × cos(0.94688282) × R
    0.000191750000000379 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 713.700978445312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00874784-2.00893959) × cos(0.94677079) × R
    0.000191750000000379 × 0.584306741546992 × 6371000     		du = 713.812049514822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94688282)-sin(0.94677079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.584306741546992)×R²
    abs(2.00893959-2.00874784)×9.09196962278758e-05×R²
    0.000191750000000379×9.09196962278758e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.09196962278758e-05×40589641000000     		ar = 509438.808879381m²