Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26859 / 6965
↖ ↑ ↗
← N 80.367112°
W 32.459106°		 ← 102.21 m → N 80.367112°
W 32.453614°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
N 80.366193°
W 32.459106°		 ← 102.22 m →
10 445 m²		 N 80.366193°
W 32.453614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409843444824219 y=0.106285095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409843444824219 × 216)
    floor (0.409843444824219 × 65536)
    floor (26859.5)     		tx = 26859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106285095214844 × 216)
    floor (0.106285095214844 × 65536)
    floor (6965.5)     		ty = 6965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26859 / 6965 ti = "16/26859/6965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26859/6965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26859 ÷ 216
    26859 ÷ 65536     		x = 0.409835815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6965 ÷ 216
    6965 ÷ 65536     		y = 0.106277465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409835815429688 × 2 - 1) × π
    -0.180328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56651828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106277465820312 × 2 - 1) × π
    0.787445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47383164179262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56651828} λ = -0.56651828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47383164179262))-π/2
    2×atan(11.8678331295456)-π/2
    2×1.48673351936089-π/2
    2.97346703872178-1.57079632675     		φ = 1.40267071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56651828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.459106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40267071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.367112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26859 KachelY 6965 -0.56651828 1.40267071 -32.459106 80.367112
    Oben rechts KachelX + 1 26860 KachelY 6965 -0.56642241 1.40267071 -32.453614 80.367112
    Unten links KachelX 26859 KachelY + 1 6966 -0.56651828 1.40265467 -32.459106 80.366193
    Unten rechts KachelX + 1 26860 KachelY + 1 6966 -0.56642241 1.40265467 -32.453614 80.366193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40267071-1.40265467) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40267071-1.40265467) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56651828--0.56642241) × cos(1.40267071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167334689419287 × 6371000     		do = 102.205981794047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56651828--0.56642241) × cos(1.40265467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167350503236133 × 6371000     		du = 102.215640679973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40267071)-sin(1.40265467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167334689419287-0.167350503236133)×R²
    abs(-0.56642241--0.56651828)×1.58138168462885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58138168462885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58138168462885e-05×40589641000000     		ar = 10445.0086577254m²