Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26859 / 10479
↖ ↑ ↗
← N 54.271640°
E115.081787°		 ← 713.37 m → N 54.271640°
E115.092773°		 →
↑
713.42 m
↓
↑
713.42 m
↓
N 54.265224°
E115.081787°		 ← 713.48 m →
508 974 m²		 N 54.265224°
E115.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819686889648438 y=0.319808959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819686889648438 × 215)
    floor (0.819686889648438 × 32768)
    floor (26859.5)     		tx = 26859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319808959960938 × 215)
    floor (0.319808959960938 × 32768)
    floor (10479.5)     		ty = 10479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26859 / 10479 ti = "15/26859/10479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26859/10479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26859 ÷ 215
    26859 ÷ 32768     		x = 0.819671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10479 ÷ 215
    10479 ÷ 32768     		y = 0.319793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819671630859375 × 2 - 1) × π
    0.63934326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00855609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319793701171875 × 2 - 1) × π
    0.36041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13226956902573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00855609} λ = 2.00855609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13226956902573))-π/2
    2×atan(3.10269028504266)-π/2
    2×1.25900756734118-π/2
    2.51801513468237-1.57079632675     		φ = 0.94721881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00855609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.081787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94721881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.271640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26859 KachelY 10479 2.00855609 0.94721881 115.081787 54.271640
    Oben rechts KachelX + 1 26860 KachelY 10479 2.00874784 0.94721881 115.092773 54.271640
    Unten links KachelX 26859 KachelY + 1 10480 2.00855609 0.94710683 115.081787 54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 26860 KachelY + 1 10480 2.00874784 0.94710683 115.092773 54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94721881-0.94710683) × R
    0.000111980000000012 × 6371000     		dl = 713.424580000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94721881-0.94710683) × R
    0.000111980000000012 × 6371000     		dr = 713.424580000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00855609-2.00874784) × cos(0.94721881) × R
    0.000191749999999935 × 0.583943099952129 × 6371000     		do = 713.367810667952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00855609-2.00874784) × cos(0.94710683) × R
    0.000191749999999935 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 713.478859015661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94721881)-sin(0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583943099952129-0.584034001048921)×R²
    abs(2.00874784-2.00855609)×9.09010967918844e-05×R²
    0.000191749999999935×9.09010967918844e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.09010967918844e-05×40589641000000     		ar = 508973.743554023m²