Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26858 / 6964
↖ ↑ ↗
← N 80.368031°
W 32.464599°		 ← 102.20 m → N 80.368031°
W 32.459106°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
N 80.367112°
W 32.464599°		 ← 102.21 m →
10 444 m²		 N 80.367112°
W 32.459106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409828186035156 y=0.106269836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409828186035156 × 216)
    floor (0.409828186035156 × 65536)
    floor (26858.5)     		tx = 26858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106269836425781 × 216)
    floor (0.106269836425781 × 65536)
    floor (6964.5)     		ty = 6964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26858 / 6964 ti = "16/26858/6964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26858/6964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26858 ÷ 216
    26858 ÷ 65536     		x = 0.409820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6964 ÷ 216
    6964 ÷ 65536     		y = 0.10626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.18035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56661415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10626220703125 × 2 - 1) × π
    0.7874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47392751559186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56661415} λ = -0.56661415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47392751559186))-π/2
    2×atan(11.8689709983415)-π/2
    2×1.48674154048792-π/2
    2.97348308097583-1.57079632675     		φ = 1.40268675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56661415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.464599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40268675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.368031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26858 KachelY 6964 -0.56661415 1.40268675 -32.464599 80.368031
    Oben rechts KachelX + 1 26859 KachelY 6964 -0.56651828 1.40268675 -32.459106 80.368031
    Unten links KachelX 26858 KachelY + 1 6965 -0.56661415 1.40267071 -32.464599 80.367112
    Unten rechts KachelX + 1 26859 KachelY + 1 6965 -0.56651828 1.40267071 -32.459106 80.367112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40268675-1.40267071) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40268675-1.40267071) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56661415--0.56651828) × cos(1.40268675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167318875559389 × 6371000     		do = 102.196322881824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56661415--0.56651828) × cos(1.40267071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167334689419287 × 6371000     		du = 102.205981794047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40268675)-sin(1.40267071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167318875559389-0.167334689419287)×R²
    abs(-0.56651828--0.56661415)×1.58138598984059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58138598984059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58138598984059e-05×40589641000000     		ar = 10444.0216066407m²