Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26858 / 25126
↖ ↑ ↗
← S 68.807986°
E115.070801°		 ← 441.59 m → S 68.807986°
E115.081787°		 →
↑
441.57 m
↓
↑
441.57 m
↓
S 68.811957°
E115.070801°		 ← 441.51 m →
194 979 m²		 S 68.811957°
E115.081787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819656372070312 y=0.766799926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819656372070312 × 215)
    floor (0.819656372070312 × 32768)
    floor (26858.5)     		tx = 26858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766799926757812 × 215)
    floor (0.766799926757812 × 32768)
    floor (25126.5)     		ty = 25126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26858 / 25126 ti = "15/26858/25126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26858/25126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26858 ÷ 215
    26858 ÷ 32768     		x = 0.81964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25126 ÷ 215
    25126 ÷ 32768     		y = 0.76678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81964111328125 × 2 - 1) × π
    0.6392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00836435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.5335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67625750591412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00836435} λ = 2.00836435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67625750591412))-π/2
    2×atan(0.187072786373627)-π/2
    2×0.184935213596379-π/2
    0.369870427192758-1.57079632675     		φ = -1.20092590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00836435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20092590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.807986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26858 KachelY 25126 2.00836435 -1.20092590 115.070801 -68.807986
    Oben rechts KachelX + 1 26859 KachelY 25126 2.00855609 -1.20092590 115.081787 -68.807986
    Unten links KachelX 26858 KachelY + 1 25127 2.00836435 -1.20099521 115.070801 -68.811957
    Unten rechts KachelX + 1 26859 KachelY + 1 25127 2.00855609 -1.20099521 115.081787 -68.811957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20092590--1.20099521) × R
    6.93099999999891e-05 × 6371000     		dl = 441.574009999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20092590--1.20099521) × R
    6.93099999999891e-05 × 6371000     		dr = 441.574009999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00836435-2.00855609) × cos(-1.20092590) × R
    0.000191739999999996 × 0.361494624287305 × 6371000     		do = 441.592990870851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00836435-2.00855609) × cos(-1.20099521) × R
    0.000191739999999996 × 0.361430000563721 × 6371000     		du = 441.514048110818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20092590)-sin(-1.20099521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361494624287305-0.361430000563721)×R²
    abs(2.00855609-2.00836435)×6.46237235839564e-05×R²
    0.000191739999999996×6.46237235839564e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.46237235839564e-05×40589641000000     		ar = 194978.558309234m²