Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26857 / 10936
↖ ↑ ↗
← N 51.234407°
E115.059815°		 ← 764.91 m → N 51.234407°
E115.070801°		 →
↑
764.97 m
↓
↑
764.97 m
↓
N 51.227528°
E115.059815°		 ← 765.03 m →
585 175 m²		 N 51.227528°
E115.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819625854492188 y=0.333755493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819625854492188 × 215)
    floor (0.819625854492188 × 32768)
    floor (26857.5)     		tx = 26857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333755493164062 × 215)
    floor (0.333755493164062 × 32768)
    floor (10936.5)     		ty = 10936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26857 / 10936 ti = "15/26857/10936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26857/10936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26857 ÷ 215
    26857 ÷ 32768     		x = 0.819610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10936 ÷ 215
    10936 ÷ 32768     		y = 0.333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819610595703125 × 2 - 1) × π
    0.63922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00817260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333740234375 × 2 - 1) × π
    0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00817260} λ = 2.00817260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04464091652026))-π/2
    2×atan(2.84237768950893)-π/2
    2×1.23250271268511-π/2
    2.46500542537021-1.57079632675     		φ = 0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00817260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.059815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26857 KachelY 10936 2.00817260 0.89420910 115.059815 51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 26858 KachelY 10936 2.00836435 0.89420910 115.070801 51.234407
    Unten links KachelX 26857 KachelY + 1 10937 2.00817260 0.89408903 115.059815 51.227528
    Unten rechts KachelX + 1 26858 KachelY + 1 10937 2.00836435 0.89408903 115.070801 51.227528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89420910-0.89408903) × R
    0.000120070000000028 × 6371000     		dl = 764.965970000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89420910-0.89408903) × R
    0.000120070000000028 × 6371000     		dr = 764.965970000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00817260-2.00836435) × cos(0.89420910) × R
    0.000191749999999935 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 764.911932348511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00817260-2.00836435) × cos(0.89408903) × R
    0.000191749999999935 × 0.626229303810978 × 6371000     		du = 765.026297035406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89420910)-sin(0.89408903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626229303810978)×R²
    abs(2.00836435-2.00817260)×9.36157600496257e-05×R²
    0.000191749999999935×9.36157600496257e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.36157600496257e-05×40589641000000     		ar = 585175.341543329m²