Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26856 / 10851
↖ ↑ ↗
← N 51.815407°
E115.048828°		 ← 755.21 m → N 51.815407°
E115.059815°		 →
↑
755.28 m
↓
↑
755.28 m
↓
N 51.808615°
E115.048828°		 ← 755.33 m →
570 442 m²		 N 51.808615°
E115.059815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819595336914062 y=0.331161499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819595336914062 × 215)
    floor (0.819595336914062 × 32768)
    floor (26856.5)     		tx = 26856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331161499023438 × 215)
    floor (0.331161499023438 × 32768)
    floor (10851.5)     		ty = 10851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26856 / 10851 ti = "15/26856/10851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26856/10851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26856 ÷ 215
    26856 ÷ 32768     		x = 0.819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10851 ÷ 215
    10851 ÷ 32768     		y = 0.331146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819580078125 × 2 - 1) × π
    0.63916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00798085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331146240234375 × 2 - 1) × π
    0.33770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06093946239108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00798085} λ = 2.00798085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06093946239108))-π/2
    2×atan(2.88908390039854)-π/2
    2×1.23757289091459-π/2
    2.47514578182918-1.57079632675     		φ = 0.90434946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00798085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90434946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.815407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26856 KachelY 10851 2.00798085 0.90434946 115.048828 51.815407
    Oben rechts KachelX + 1 26857 KachelY 10851 2.00817260 0.90434946 115.059815 51.815407
    Unten links KachelX 26856 KachelY + 1 10852 2.00798085 0.90423091 115.048828 51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 26857 KachelY + 1 10852 2.00817260 0.90423091 115.059815 51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90434946-0.90423091) × R
    0.000118550000000051 × 6371000     		dl = 755.282050000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90434946-0.90423091) × R
    0.000118550000000051 × 6371000     		dr = 755.282050000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00798085-2.00817260) × cos(0.90434946) × R
    0.000191749999999935 × 0.618197050214648 × 6371000     		do = 755.213780776178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00798085-2.00817260) × cos(0.90423091) × R
    0.000191749999999935 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 755.32761153486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90434946)-sin(0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618197050214648-0.618290228915873)×R²
    abs(2.00817260-2.00798085)×9.31787012257157e-05×R²
    0.000191749999999935×9.31787012257157e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.31787012257157e-05×40589641000000     		ar = 570442.400366046m²