Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26854 / 5418
↖ ↑ ↗
← N 81.689909°
W 32.486572°		 ← 88.29 m → N 81.689909°
W 32.481079°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
N 81.689115°
W 32.486572°		 ← 88.30 m →
7 796 m²		 N 81.689115°
W 32.481079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409767150878906 y=0.0826797485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409767150878906 × 216)
    floor (0.409767150878906 × 65536)
    floor (26854.5)     		tx = 26854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826797485351562 × 216)
    floor (0.0826797485351562 × 65536)
    floor (5418.5)     		ty = 5418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26854 / 5418 ti = "16/26854/5418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26854/5418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26854 ÷ 216
    26854 ÷ 65536     		x = 0.409759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5418 ÷ 216
    5418 ÷ 65536     		y = 0.082672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.18048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56699765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082672119140625 × 2 - 1) × π
    0.83465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62214840921707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56699765} λ = -0.56699765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62214840921707))-π/2
    2×atan(13.7652652626746)-π/2
    2×1.49827710153082-π/2
    2.99655420306164-1.57079632675     		φ = 1.42575788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56699765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.486572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42575788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.689909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26854 KachelY 5418 -0.56699765 1.42575788 -32.486572 81.689909
    Oben rechts KachelX + 1 26855 KachelY 5418 -0.56690177 1.42575788 -32.481079 81.689909
    Unten links KachelX 26854 KachelY + 1 5419 -0.56699765 1.42574402 -32.486572 81.689115
    Unten rechts KachelX + 1 26855 KachelY + 1 5419 -0.56690177 1.42574402 -32.481079 81.689115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42575788-1.42574402) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dl = 88.3020599994977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42575788-1.42574402) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dr = 88.3020599994977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56699765--0.56690177) × cos(1.42575788) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.144530472934338 × 6371000     		do = 88.2866532970847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56699765--0.56690177) × cos(1.42574402) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.144544187395305 × 6371000     		du = 88.2950307958635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42575788)-sin(1.42574402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144530472934338-0.144544187395305)×R²
    abs(-0.56690177--0.56699765)×1.37144609665407e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.37144609665407e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.37144609665407e-05×40589641000000     		ar = 7796.26323225149m²