Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26854 / 10494
↖ ↑ ↗
← N 54.175297°
E115.026856°		 ← 715 m → N 54.175297°
E115.037842°		 →
↑
715.08 m
↓
↑
715.08 m
↓
N 54.168866°
E115.026856°		 ← 715.11 m →
511 321 m²		 N 54.168866°
E115.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819534301757812 y=0.320266723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819534301757812 × 215)
    floor (0.819534301757812 × 32768)
    floor (26854.5)     		tx = 26854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320266723632812 × 215)
    floor (0.320266723632812 × 32768)
    floor (10494.5)     		ty = 10494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26854 / 10494 ti = "15/26854/10494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26854/10494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26854 ÷ 215
    26854 ÷ 32768     		x = 0.81951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10494 ÷ 215
    10494 ÷ 32768     		y = 0.32025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81951904296875 × 2 - 1) × π
    0.6390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00759736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32025146484375 × 2 - 1) × π
    0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00759736} λ = 2.00759736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12939335504852))-π/2
    2×atan(3.09377910525104)-π/2
    2×1.25816681392776-π/2
    2.51633362785551-1.57079632675     		φ = 0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00759736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26854 KachelY 10494 2.00759736 0.94553730 115.026856 54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 26855 KachelY 10494 2.00778910 0.94553730 115.037842 54.175297
    Unten links KachelX 26854 KachelY + 1 10495 2.00759736 0.94542506 115.026856 54.168866
    Unten rechts KachelX + 1 26855 KachelY + 1 10495 2.00778910 0.94542506 115.037842 54.168866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94553730-0.94542506) × R
    0.000112239999999986 × 6371000     		dl = 715.081039999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94553730-0.94542506) × R
    0.000112239999999986 × 6371000     		dr = 715.081039999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00759736-2.00778910) × cos(0.94553730) × R
    0.000191739999999996 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 714.997098760663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00759736-2.00778910) × cos(0.94542506) × R
    0.000191739999999996 × 0.585398316287083 × 6371000     		du = 715.108264333468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94553730)-sin(0.94542506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585398316287083)×R²
    abs(2.00778910-2.00759736)×9.10017998603241e-05×R²
    0.000191739999999996×9.10017998603241e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.10017998603241e-05×40589641000000     		ar = 511320.615712071m²