Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26852 / 5419
↖ ↑ ↗
← N 81.689115°
W 32.497559°		 ← 88.30 m → N 81.689115°
W 32.492065°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
N 81.688321°
W 32.497559°		 ← 88.30 m →
7 797 m²		 N 81.688321°
W 32.492065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409736633300781 y=0.0826950073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409736633300781 × 216)
    floor (0.409736633300781 × 65536)
    floor (26852.5)     		tx = 26852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826950073242188 × 216)
    floor (0.0826950073242188 × 65536)
    floor (5419.5)     		ty = 5419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26852 / 5419 ti = "16/26852/5419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26852/5419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26852 ÷ 216
    26852 ÷ 65536     		x = 0.40972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5419 ÷ 216
    5419 ÷ 65536     		y = 0.0826873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0826873779296875 × 2 - 1) × π
    0.834625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62205253541783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56718940} λ = -0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62205253541783))-π/2
    2×atan(13.763945597658)-π/2
    2×1.49827017285922-π/2
    2.99654034571845-1.57079632675     		φ = 1.42574402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42574402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.689115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26852 KachelY 5419 -0.56718940 1.42574402 -32.497559 81.689115
    Oben rechts KachelX + 1 26853 KachelY 5419 -0.56709352 1.42574402 -32.492065 81.689115
    Unten links KachelX 26852 KachelY + 1 5420 -0.56718940 1.42573016 -32.497559 81.688321
    Unten rechts KachelX + 1 26853 KachelY + 1 5420 -0.56709352 1.42573016 -32.492065 81.688321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42574402-1.42573016) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dl = 88.3020599994977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42574402-1.42573016) × R
    1.38599999999212e-05 × 6371000     		dr = 88.3020599994977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56718940--0.56709352) × cos(1.42574402) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144544187395305 × 6371000     		do = 88.2950307957612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56718940--0.56709352) × cos(1.42573016) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144557901828504 × 6371000     		du = 88.3034082775786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42574402)-sin(1.42573016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144544187395305-0.144557901828504)×R²
    abs(-0.56709352--0.56718940)×1.37144331996963e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37144331996963e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37144331996963e-05×40589641000000     		ar = 7797.00298121092m²