Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26852 / 10484
↖ ↑ ↗
← N 54.239550°
E115.004883°		 ← 713.92 m → N 54.239550°
E115.015869°		 →
↑
713.93 m
↓
↑
713.93 m
↓
N 54.233130°
E115.004883°		 ← 714.03 m →
509 734 m²		 N 54.233130°
E115.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819473266601562 y=0.319961547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819473266601562 × 215)
    floor (0.819473266601562 × 32768)
    floor (26852.5)     		tx = 26852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319961547851562 × 215)
    floor (0.319961547851562 × 32768)
    floor (10484.5)     		ty = 10484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26852 / 10484 ti = "15/26852/10484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26852/10484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26852 ÷ 215
    26852 ÷ 32768     		x = 0.8194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10484 ÷ 215
    10484 ÷ 32768     		y = 0.3199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8194580078125 × 2 - 1) × π
    0.638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00721386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3199462890625 × 2 - 1) × π
    0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00721386} λ = 2.00721386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13131083103333))-π/2
    2×atan(3.09971704349529)-π/2
    2×1.2587275341768-π/2
    2.51745506835359-1.57079632675     		φ = 0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00721386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26852 KachelY 10484 2.00721386 0.94665874 115.004883 54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 26853 KachelY 10484 2.00740561 0.94665874 115.015869 54.239550
    Unten links KachelX 26852 KachelY + 1 10485 2.00721386 0.94654668 115.004883 54.233130
    Unten rechts KachelX + 1 26853 KachelY + 1 10485 2.00740561 0.94654668 115.015869 54.233130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94665874-0.94654668) × R
    0.00011206000000008 × 6371000     		dl = 713.934260000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94665874-0.94654668) × R
    0.00011206000000008 × 6371000     		dr = 713.934260000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00721386-2.00740561) × cos(0.94665874) × R
    0.000191750000000379 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 713.923131451886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00721386-2.00740561) × cos(0.94654668) × R
    0.000191750000000379 × 0.584488599507991 × 6371000     		du = 714.034214337904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94665874)-sin(0.94654668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584488599507991)×R²
    abs(2.00740561-2.00721386)×9.09293688936552e-05×R²
    0.000191750000000379×9.09293688936552e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.09293688936552e-05×40589641000000     		ar = 509733.836022775m²