Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26850 / 42986
↖ ↑ ↗
← S 48.843028°
W 32.508545°		 ← 401.97 m → S 48.843028°
W 32.503052°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
S 48.846644°
W 32.508545°		 ← 401.95 m →
161 592 m²		 S 48.846644°
W 32.503052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409706115722656 y=0.655921936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409706115722656 × 216)
    floor (0.409706115722656 × 65536)
    floor (26850.5)     		tx = 26850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655921936035156 × 216)
    floor (0.655921936035156 × 65536)
    floor (42986.5)     		ty = 42986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26850 / 42986 ti = "16/26850/42986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26850/42986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26850 ÷ 216
    26850 ÷ 65536     		x = 0.409698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42986 ÷ 216
    42986 ÷ 65536     		y = 0.655914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.31182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.979638480635468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56738114} λ = -0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979638480635468))-π/2
    2×atan(0.375446805610191)-π/2
    2×0.359162332704308-π/2
    0.718324665408615-1.57079632675     		φ = -0.85247166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85247166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.843028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26850 KachelY 42986 -0.56738114 -0.85247166 -32.508545 -48.843028
    Oben rechts KachelX + 1 26851 KachelY 42986 -0.56728527 -0.85247166 -32.503052 -48.843028
    Unten links KachelX 26850 KachelY + 1 42987 -0.56738114 -0.85253476 -32.508545 -48.846644
    Unten rechts KachelX + 1 26851 KachelY + 1 42987 -0.56728527 -0.85253476 -32.503052 -48.846644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85247166--0.85253476) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85247166--0.85253476) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56738114--0.56728527) × cos(-0.85247166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658124222097955 × 6371000     		do = 401.974225998186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56738114--0.56728527) × cos(-0.85253476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		du = 401.945207537842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85247166)-sin(-0.85253476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658124222097955-0.658076712207009)×R²
    abs(-0.56728527--0.56738114)×4.75098909454852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75098909454852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75098909454852e-05×40589641000000     		ar = 161591.865987278m²