Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26850 / 25116
↖ ↑ ↗
← S 68.768235°
E114.982910°		 ← 442.38 m → S 68.768235°
E114.993896°		 →
↑
442.40 m
↓
↑
442.40 m
↓
S 68.772214°
E114.982910°		 ← 442.30 m →
195 694 m²		 S 68.772214°
E114.993896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819412231445312 y=0.766494750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819412231445312 × 215)
    floor (0.819412231445312 × 32768)
    floor (26850.5)     		tx = 26850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766494750976562 × 215)
    floor (0.766494750976562 × 32768)
    floor (25116.5)     		ty = 25116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26850 / 25116 ti = "15/26850/25116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26850/25116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26850 ÷ 215
    26850 ÷ 32768     		x = 0.81939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25116 ÷ 215
    25116 ÷ 32768     		y = 0.7664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81939697265625 × 2 - 1) × π
    0.6387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00683037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67434002992932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00683037} λ = 2.00683037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67434002992932))-π/2
    2×atan(0.187431838075405)-π/2
    2×0.185282102191506-π/2
    0.370564204383012-1.57079632675     		φ = -1.20023212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00683037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20023212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.768235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26850 KachelY 25116 2.00683037 -1.20023212 114.982910 -68.768235
    Oben rechts KachelX + 1 26851 KachelY 25116 2.00702211 -1.20023212 114.993896 -68.768235
    Unten links KachelX 26850 KachelY + 1 25117 2.00683037 -1.20030156 114.982910 -68.772214
    Unten rechts KachelX + 1 26851 KachelY + 1 25117 2.00702211 -1.20030156 114.993896 -68.772214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20023212--1.20030156) × R
    6.94400000000872e-05 × 6371000     		dl = 442.402240000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20023212--1.20030156) × R
    6.94400000000872e-05 × 6371000     		dr = 442.402240000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00683037-2.00702211) × cos(-1.20023212) × R
    0.000191739999999996 × 0.362141399804119 × 6371000     		do = 442.383076022063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00683037-2.00702211) × cos(-1.20030156) × R
    0.000191739999999996 × 0.362076672298046 × 6371000     		du = 442.304006483879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20023212)-sin(-1.20030156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362141399804119-0.362076672298046)×R²
    abs(2.00702211-2.00683037)×6.472750607317e-05×R²
    0.000191739999999996×6.472750607317e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.472750607317e-05×40589641000000     		ar = 195693.773578826m²