Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26850 / 10526
↖ ↑ ↗
← N 53.969012°
E114.982910°		 ← 718.56 m → N 53.969012°
E114.993896°		 →
↑
718.65 m
↓
↑
718.65 m
↓
N 53.962549°
E114.982910°		 ← 718.67 m →
516 431 m²		 N 53.962549°
E114.993896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819412231445312 y=0.321243286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819412231445312 × 215)
    floor (0.819412231445312 × 32768)
    floor (26850.5)     		tx = 26850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321243286132812 × 215)
    floor (0.321243286132812 × 32768)
    floor (10526.5)     		ty = 10526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26850 / 10526 ti = "15/26850/10526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26850/10526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26850 ÷ 215
    26850 ÷ 32768     		x = 0.81939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10526 ÷ 215
    10526 ÷ 32768     		y = 0.32122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81939697265625 × 2 - 1) × π
    0.6387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00683037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32122802734375 × 2 - 1) × π
    0.3575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12325743189716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00683037} λ = 2.00683037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12325743189716))-π/2
    2×atan(3.07485403517838)-π/2
    2×1.25636664317296-π/2
    2.51273328634591-1.57079632675     		φ = 0.94193696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00683037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94193696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.969012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26850 KachelY 10526 2.00683037 0.94193696 114.982910 53.969012
    Oben rechts KachelX + 1 26851 KachelY 10526 2.00702211 0.94193696 114.993896 53.969012
    Unten links KachelX 26850 KachelY + 1 10527 2.00683037 0.94182416 114.982910 53.962549
    Unten rechts KachelX + 1 26851 KachelY + 1 10527 2.00702211 0.94182416 114.993896 53.962549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94193696-0.94182416) × R
    0.000112800000000024 × 6371000     		dl = 718.648800000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94193696-0.94182416) × R
    0.000112800000000024 × 6371000     		dr = 718.648800000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00683037-2.00702211) × cos(0.94193696) × R
    0.000191739999999996 × 0.588222711883889 × 6371000     		do = 718.558476909811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00683037-2.00702211) × cos(0.94182416) × R
    0.000191739999999996 × 0.588313929386482 × 6371000     		du = 718.669905979797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94193696)-sin(0.94182416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588222711883889-0.588313929386482)×R²
    abs(2.00702211-2.00683037)×9.12175025924444e-05×R²
    0.000191739999999996×9.12175025924444e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.12175025924444e-05×40589641000000     		ar = 516431.226892392m²