Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26848 / 10529
↖ ↑ ↗
← N 53.949621°
E114.960937°		 ← 718.93 m → N 53.949621°
E114.971924°		 →
↑
718.97 m
↓
↑
718.97 m
↓
N 53.943155°
E114.960937°		 ← 719.04 m →
516 927 m²		 N 53.943155°
E114.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819351196289062 y=0.321334838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819351196289062 × 215)
    floor (0.819351196289062 × 32768)
    floor (26848.5)     		tx = 26848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321334838867188 × 215)
    floor (0.321334838867188 × 32768)
    floor (10529.5)     		ty = 10529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26848 / 10529 ti = "15/26848/10529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26848/10529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26848 ÷ 215
    26848 ÷ 32768     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10529 ÷ 215
    10529 ÷ 32768     		y = 0.321319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321319580078125 × 2 - 1) × π
    0.35736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12268218910172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12268218910172))-π/2
    2×atan(3.07308575619125)-π/2
    2×1.25619741837903-π/2
    2.51239483675806-1.57079632675     		φ = 0.94159851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94159851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.949621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26848 KachelY 10529 2.00644687 0.94159851 114.960937 53.949621
    Oben rechts KachelX + 1 26849 KachelY 10529 2.00663862 0.94159851 114.971924 53.949621
    Unten links KachelX 26848 KachelY + 1 10530 2.00644687 0.94148566 114.960937 53.943155
    Unten rechts KachelX + 1 26849 KachelY + 1 10530 2.00663862 0.94148566 114.971924 53.943155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94159851-0.94148566) × R
    0.000112850000000053 × 6371000     		dl = 718.967350000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94159851-0.94148566) × R
    0.000112850000000053 × 6371000     		dr = 718.967350000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00663862) × cos(0.94159851) × R
    0.000191749999999935 × 0.588496382358662 × 6371000     		do = 718.930279172106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00663862) × cos(0.94148566) × R
    0.000191749999999935 × 0.588587617819289 × 6371000     		du = 719.0417359918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94159851)-sin(0.94148566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588496382358662-0.588587617819289)×R²
    abs(2.00663862-2.00644687)×9.12354606270593e-05×R²
    0.000191749999999935×9.12354606270593e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.12354606270593e-05×40589641000000     		ar = 516927.46510746m²