Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26847 / 25056
↖ ↑ ↗
← S 68.528235°
E114.949951°		 ← 447.17 m → S 68.528235°
E114.960937°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
S 68.532256°
E114.949951°		 ← 447.09 m →
199 920 m²		 S 68.532256°
E114.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819320678710938 y=0.764663696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819320678710938 × 215)
    floor (0.819320678710938 × 32768)
    floor (26847.5)     		tx = 26847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764663696289062 × 215)
    floor (0.764663696289062 × 32768)
    floor (25056.5)     		ty = 25056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26847 / 25056 ti = "15/26847/25056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26847/25056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26847 ÷ 215
    26847 ÷ 32768     		x = 0.819305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25056 ÷ 215
    25056 ÷ 32768     		y = 0.7646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819305419921875 × 2 - 1) × π
    0.63861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00625512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    -0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00625512} λ = 2.00625512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66283517402051))-π/2
    2×atan(0.18960066647185)-π/2
    2×0.18737649843559-π/2
    0.374752996871181-1.57079632675     		φ = -1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00625512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26847 KachelY 25056 2.00625512 -1.19604333 114.949951 -68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 26848 KachelY 25056 2.00644687 -1.19604333 114.960937 -68.528235
    Unten links KachelX 26847 KachelY + 1 25057 2.00625512 -1.19611351 114.949951 -68.532256
    Unten rechts KachelX + 1 26848 KachelY + 1 25057 2.00644687 -1.19611351 114.960937 -68.532256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19604333--1.19611351) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19604333--1.19611351) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00625512-2.00644687) × cos(-1.19604333) × R
    0.000191749999999935 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 447.172104513483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00625512-2.00644687) × cos(-1.19611351) × R
    0.000191749999999935 × 0.365977369276647 × 6371000     		du = 447.092318919945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19604333)-sin(-1.19611351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.365977369276647)×R²
    abs(2.00644687-2.00625512)×6.53102735015954e-05×R²
    0.000191749999999935×6.53102735015954e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.53102735015954e-05×40589641000000     		ar = 199920.314819033m²