Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26846 / 10487
↖ ↑ ↗
← N 54.220285°
E114.938965°		 ← 714.22 m → N 54.220285°
E114.949951°		 →
↑
714.32 m
↓
↑
714.32 m
↓
N 54.213861°
E114.938965°		 ← 714.33 m →
510 218 m²		 N 54.213861°
E114.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819290161132812 y=0.320053100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819290161132812 × 215)
    floor (0.819290161132812 × 32768)
    floor (26846.5)     		tx = 26846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320053100585938 × 215)
    floor (0.320053100585938 × 32768)
    floor (10487.5)     		ty = 10487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26846 / 10487 ti = "15/26846/10487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26846/10487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26846 ÷ 215
    26846 ÷ 32768     		x = 0.81927490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10487 ÷ 215
    10487 ÷ 32768     		y = 0.320037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81927490234375 × 2 - 1) × π
    0.6385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00606338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320037841796875 × 2 - 1) × π
    0.35992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13073558823788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00606338} λ = 2.00606338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13073558823788))-π/2
    2×atan(3.0979344663546)-π/2
    2×1.25855940966919-π/2
    2.51711881933837-1.57079632675     		φ = 0.94632249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00606338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94632249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.220285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26846 KachelY 10487 2.00606338 0.94632249 114.938965 54.220285
    Oben rechts KachelX + 1 26847 KachelY 10487 2.00625512 0.94632249 114.949951 54.220285
    Unten links KachelX 26846 KachelY + 1 10488 2.00606338 0.94621037 114.938965 54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 26847 KachelY + 1 10488 2.00625512 0.94621037 114.949951 54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94632249-0.94621037) × R
    0.000112120000000049 × 6371000     		dl = 714.316520000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94632249-0.94621037) × R
    0.000112120000000049 × 6371000     		dr = 714.316520000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00606338-2.00625512) × cos(0.94632249) × R
    0.000191739999999996 × 0.58467049301455 × 6371000     		do = 714.2191732263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00606338-2.00625512) × cos(0.94621037) × R
    0.000191739999999996 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 714.330282868406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94632249)-sin(0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58467049301455-0.584761449028704)×R²
    abs(2.00625512-2.00606338)×9.09560141534316e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09560141534316e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09560141534316e-05×40589641000000     		ar = 510218.238597422m²