Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26845 / 25105
↖ ↑ ↗
← S 68.724427°
E114.927979°		 ← 443.28 m → S 68.724427°
E114.938965°		 →
↑
443.23 m
↓
↑
443.23 m
↓
S 68.728413°
E114.927979°		 ← 443.20 m →
196 456 m²		 S 68.728413°
E114.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819259643554688 y=0.766159057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819259643554688 × 215)
    floor (0.819259643554688 × 32768)
    floor (26845.5)     		tx = 26845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766159057617188 × 215)
    floor (0.766159057617188 × 32768)
    floor (25105.5)     		ty = 25105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26845 / 25105 ti = "15/26845/25105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26845/25105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26845 ÷ 215
    26845 ÷ 32768     		x = 0.819244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25105 ÷ 215
    25105 ÷ 32768     		y = 0.766143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819244384765625 × 2 - 1) × π
    0.63848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00587163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.53228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67223080634604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00587163} λ = 2.00587163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67223080634604))-π/2
    2×atan(0.187827590947458)-π/2
    2×0.185664396425244-π/2
    0.371328792850488-1.57079632675     		φ = -1.19946753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00587163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.927979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19946753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.724427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26845 KachelY 25105 2.00587163 -1.19946753 114.927979 -68.724427
    Oben rechts KachelX + 1 26846 KachelY 25105 2.00606338 -1.19946753 114.938965 -68.724427
    Unten links KachelX 26845 KachelY + 1 25106 2.00587163 -1.19953710 114.927979 -68.728413
    Unten rechts KachelX + 1 26846 KachelY + 1 25106 2.00606338 -1.19953710 114.938965 -68.728413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19946753--1.19953710) × R
    6.95699999999633e-05 × 6371000     		dl = 443.230469999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19946753--1.19953710) × R
    6.95699999999633e-05 × 6371000     		dr = 443.230469999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00587163-2.00606338) × cos(-1.19946753) × R
    0.000191749999999935 × 0.362853985936714 × 6371000     		do = 443.276671239088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00587163-2.00606338) × cos(-1.19953710) × R
    0.000191749999999935 × 0.362789156531801 × 6371000     		du = 443.197473093492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19946753)-sin(-1.19953710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362853985936714-0.362789156531801)×R²
    abs(2.00606338-2.00587163)×6.48294049126474e-05×R²
    0.000191749999999935×6.48294049126474e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.48294049126474e-05×40589641000000     		ar = 196456.175896519m²