Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26843 / 5415
↖ ↑ ↗
← N 81.692290°
W 32.546997°		 ← 88.25 m → N 81.692290°
W 32.541504°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
N 81.691497°
W 32.546997°		 ← 88.26 m →
7 788 m²		 N 81.691497°
W 32.541504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409599304199219 y=0.0826339721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409599304199219 × 216)
    floor (0.409599304199219 × 65536)
    floor (26843.5)     		tx = 26843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826339721679688 × 216)
    floor (0.0826339721679688 × 65536)
    floor (5415.5)     		ty = 5415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26843 / 5415 ti = "16/26843/5415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26843/5415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26843 ÷ 216
    26843 ÷ 65536     		x = 0.409591674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5415 ÷ 216
    5415 ÷ 65536     		y = 0.0826263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409591674804688 × 2 - 1) × π
    -0.180816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56805226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0826263427734375 × 2 - 1) × π
    0.834747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62243603061479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56805226} λ = -0.56805226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62243603061479))-π/2
    2×atan(13.7692250169372)-π/2
    2×1.49829788360222-π/2
    2.99659576720444-1.57079632675     		φ = 1.42579944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56805226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.546997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42579944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.692290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26843 KachelY 5415 -0.56805226 1.42579944 -32.546997 81.692290
    Oben rechts KachelX + 1 26844 KachelY 5415 -0.56795639 1.42579944 -32.541504 81.692290
    Unten links KachelX 26843 KachelY + 1 5416 -0.56805226 1.42578559 -32.546997 81.691497
    Unten rechts KachelX + 1 26844 KachelY + 1 5416 -0.56795639 1.42578559 -32.541504 81.691497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42579944-1.42578559) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42579944-1.42578559) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56805226--0.56795639) × cos(1.42579944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14448934917499 × 6371000     		do = 88.2523273713417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56805226--0.56795639) × cos(1.42578559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144503053824158 × 6371000     		du = 88.2606980034455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42579944)-sin(1.42578559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14448934917499-0.144503053824158)×R²
    abs(-0.56795639--0.56805226)×1.37046491678616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37046491678616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37046491678616e-05×40589641000000     		ar = 7787.6090564326m²