Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26843 / 10483
↖ ↑ ↗
← N 54.245970°
E114.906006°		 ← 713.81 m → N 54.245970°
E114.916992°		 →
↑
713.87 m
↓
↑
713.87 m
↓
N 54.239550°
E114.906006°		 ← 713.92 m →
509 609 m²		 N 54.239550°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819198608398438 y=0.319931030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819198608398438 × 215)
    floor (0.819198608398438 × 32768)
    floor (26843.5)     		tx = 26843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319931030273438 × 215)
    floor (0.319931030273438 × 32768)
    floor (10483.5)     		ty = 10483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26843 / 10483 ti = "15/26843/10483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26843/10483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26843 ÷ 215
    26843 ÷ 32768     		x = 0.819183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10483 ÷ 215
    10483 ÷ 32768     		y = 0.319915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819183349609375 × 2 - 1) × π
    0.63836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00548813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319915771484375 × 2 - 1) × π
    0.36016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13150257863181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00548813} λ = 2.00548813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13150257863181))-π/2
    2×atan(3.10031146378186)-π/2
    2×1.25878355824276-π/2
    2.51756711648552-1.57079632675     		φ = 0.94677079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00548813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94677079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.245970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26843 KachelY 10483 2.00548813 0.94677079 114.906006 54.245970
    Oben rechts KachelX + 1 26844 KachelY 10483 2.00567988 0.94677079 114.916992 54.245970
    Unten links KachelX 26843 KachelY + 1 10484 2.00548813 0.94665874 114.906006 54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 26844 KachelY + 1 10484 2.00567988 0.94665874 114.916992 54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94677079-0.94665874) × R
    0.000112049999999919 × 6371000     		dl = 713.870549999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94677079-0.94665874) × R
    0.000112049999999919 × 6371000     		dr = 713.870549999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00548813-2.00567988) × cos(0.94677079) × R
    0.000191750000000379 × 0.584306741546992 × 6371000     		do = 713.812049514822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00548813-2.00567988) × cos(0.94665874) × R
    0.000191750000000379 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 713.923131451886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94677079)-sin(0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584306741546992-0.584397670139097)×R²
    abs(2.00567988-2.00548813)×9.09285921053549e-05×R²
    0.000191750000000379×9.09285921053549e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.09285921053549e-05×40589641000000     		ar = 509609.049977869m²