Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26841 / 25106
↖ ↑ ↗
← S 68.728413°
E114.884033°		 ← 443.17 m → S 68.728413°
E114.895019°		 →
↑
443.17 m
↓
↑
443.17 m
↓
S 68.732399°
E114.884033°		 ← 443.10 m →
196 383 m²		 S 68.732399°
E114.895019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819137573242188 y=0.766189575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819137573242188 × 215)
    floor (0.819137573242188 × 32768)
    floor (26841.5)     		tx = 26841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766189575195312 × 215)
    floor (0.766189575195312 × 32768)
    floor (25106.5)     		ty = 25106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26841 / 25106 ti = "15/26841/25106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26841/25106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26841 ÷ 215
    26841 ÷ 32768     		x = 0.819122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25106 ÷ 215
    25106 ÷ 32768     		y = 0.76617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819122314453125 × 2 - 1) × π
    0.63824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00510464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.5323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67242255394452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00510464} λ = 2.00510464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67242255394452))-π/2
    2×atan(0.187791578910686)-π/2
    2×0.185629611343202-π/2
    0.371259222686404-1.57079632675     		φ = -1.19953710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00510464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.884033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19953710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.728413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26841 KachelY 25106 2.00510464 -1.19953710 114.884033 -68.728413
    Oben rechts KachelX + 1 26842 KachelY 25106 2.00529638 -1.19953710 114.895019 -68.728413
    Unten links KachelX 26841 KachelY + 1 25107 2.00510464 -1.19960666 114.884033 -68.732399
    Unten rechts KachelX + 1 26842 KachelY + 1 25107 2.00529638 -1.19960666 114.895019 -68.732399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19953710--1.19960666) × R
    6.9560000000024e-05 × 6371000     		dl = 443.166760000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19953710--1.19960666) × R
    6.9560000000024e-05 × 6371000     		dr = 443.166760000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00510464-2.00529638) × cos(-1.19953710) × R
    0.000191739999999996 × 0.362789156531801 × 6371000     		do = 443.17435979647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00510464-2.00529638) × cos(-1.19960666) × R
    0.000191739999999996 × 0.362724334689959 × 6371000     		du = 443.095175020018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19953710)-sin(-1.19960666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362789156531801-0.362724334689959)×R²
    abs(2.00529638-2.00510464)×6.48218418419222e-05×R²
    0.000191739999999996×6.48218418419222e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.48218418419222e-05×40589641000000     		ar = 196382.599194929m²