Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26840 / 25100
↖ ↑ ↗
← S 68.704486°
E114.873047°		 ← 443.67 m → S 68.704486°
E114.884033°		 →
↑
443.61 m
↓
↑
443.61 m
↓
S 68.708476°
E114.873047°		 ← 443.59 m →
196 801 m²		 S 68.708476°
E114.884033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819107055664062 y=0.766006469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819107055664062 × 215)
    floor (0.819107055664062 × 32768)
    floor (26840.5)     		tx = 26840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766006469726562 × 215)
    floor (0.766006469726562 × 32768)
    floor (25100.5)     		ty = 25100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26840 / 25100 ti = "15/26840/25100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26840/25100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26840 ÷ 215
    26840 ÷ 32768     		x = 0.819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25100 ÷ 215
    25100 ÷ 32768     		y = 0.7659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819091796875 × 2 - 1) × π
    0.63818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00491289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67127206835364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00491289} λ = 2.00491289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67127206835364))-π/2
    2×atan(0.188007754746059)-π/2
    2×0.185838415093209-π/2
    0.371676830186418-1.57079632675     		φ = -1.19911950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00491289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19911950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.704486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26840 KachelY 25100 2.00491289 -1.19911950 114.873047 -68.704486
    Oben rechts KachelX + 1 26841 KachelY 25100 2.00510464 -1.19911950 114.884033 -68.704486
    Unten links KachelX 26840 KachelY + 1 25101 2.00491289 -1.19918913 114.873047 -68.708476
    Unten rechts KachelX + 1 26841 KachelY + 1 25101 2.00510464 -1.19918913 114.884033 -68.708476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19911950--1.19918913) × R
    6.96300000000427e-05 × 6371000     		dl = 443.612730000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19911950--1.19918913) × R
    6.96300000000427e-05 × 6371000     		dr = 443.612730000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00491289-2.00510464) × cos(-1.19911950) × R
    0.000191749999999935 × 0.363178274321431 × 6371000     		do = 443.672834658177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00491289-2.00510464) × cos(-1.19918913) × R
    0.000191749999999935 × 0.363113397800546 × 6371000     		du = 443.593578953861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19911950)-sin(-1.19918913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363178274321431-0.363113397800546)×R²
    abs(2.00510464-2.00491289)×6.48765208852153e-05×R²
    0.000191749999999935×6.48765208852153e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.48765208852153e-05×40589641000000     		ar = 196801.338069625m²