Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26840 / 10922
↖ ↑ ↗
← N 51.330612°
E114.873047°		 ← 763.31 m → N 51.330612°
E114.884033°		 →
↑
763.37 m
↓
↑
763.37 m
↓
N 51.323746°
E114.873047°		 ← 763.43 m →
582 735 m²		 N 51.323746°
E114.884033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819107055664062 y=0.333328247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819107055664062 × 215)
    floor (0.819107055664062 × 32768)
    floor (26840.5)     		tx = 26840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333328247070312 × 215)
    floor (0.333328247070312 × 32768)
    floor (10922.5)     		ty = 10922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26840 / 10922 ti = "15/26840/10922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26840/10922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26840 ÷ 215
    26840 ÷ 32768     		x = 0.819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10922 ÷ 215
    10922 ÷ 32768     		y = 0.33331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819091796875 × 2 - 1) × π
    0.63818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00491289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33331298828125 × 2 - 1) × π
    0.3333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04732538289899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00491289} λ = 2.00491289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04732538289899))-π/2
    2×atan(2.85001820762068)-π/2
    2×1.23334225345828-π/2
    2.46668450691655-1.57079632675     		φ = 0.89588818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00491289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89588818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.330612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26840 KachelY 10922 2.00491289 0.89588818 114.873047 51.330612
    Oben rechts KachelX + 1 26841 KachelY 10922 2.00510464 0.89588818 114.884033 51.330612
    Unten links KachelX 26840 KachelY + 1 10923 2.00491289 0.89576836 114.873047 51.323746
    Unten rechts KachelX + 1 26841 KachelY + 1 10923 2.00510464 0.89576836 114.884033 51.323746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89588818-0.89576836) × R
    0.000119819999999993 × 6371000     		dl = 763.373219999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89588818-0.89576836) × R
    0.000119819999999993 × 6371000     		dr = 763.373219999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00491289-2.00510464) × cos(0.89588818) × R
    0.000191749999999935 × 0.62482560365596 × 6371000     		do = 763.311481830805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00491289-2.00510464) × cos(0.89576836) × R
    0.000191749999999935 × 0.624919150354495 × 6371000     		du = 763.425762149443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89588818)-sin(0.89576836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62482560365596-0.624919150354495)×R²
    abs(2.00510464-2.00491289)×9.35466985347855e-05×R²
    0.000191749999999935×9.35466985347855e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.35466985347855e-05×40589641000000     		ar = 582735.163713025m²