Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26835 / 10704
↖ ↑ ↗
← N 52.802761°
E114.818115°		 ← 738.56 m → N 52.802761°
E114.829102°		 →
↑
738.59 m
↓
↑
738.59 m
↓
N 52.796119°
E114.818115°		 ← 738.67 m →
545 531 m²		 N 52.796119°
E114.829102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818954467773438 y=0.326675415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818954467773438 × 215)
    floor (0.818954467773438 × 32768)
    floor (26835.5)     		tx = 26835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326675415039062 × 215)
    floor (0.326675415039062 × 32768)
    floor (10704.5)     		ty = 10704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26835 / 10704 ti = "15/26835/10704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26835/10704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26835 ÷ 215
    26835 ÷ 32768     		x = 0.818939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10704 ÷ 215
    10704 ÷ 32768     		y = 0.32666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818939208984375 × 2 - 1) × π
    0.63787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00395415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32666015625 × 2 - 1) × π
    0.3466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08912635936768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00395415} λ = 2.00395415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08912635936768))-π/2
    2×atan(2.97167676060544)-π/2
    2×1.24618918381009-π/2
    2.49237836762017-1.57079632675     		φ = 0.92158204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00395415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92158204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.802761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26835 KachelY 10704 2.00395415 0.92158204 114.818115 52.802761
    Oben rechts KachelX + 1 26836 KachelY 10704 2.00414590 0.92158204 114.829102 52.802761
    Unten links KachelX 26835 KachelY + 1 10705 2.00395415 0.92146611 114.818115 52.796119
    Unten rechts KachelX + 1 26836 KachelY + 1 10705 2.00414590 0.92146611 114.829102 52.796119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92158204-0.92146611) × R
    0.000115929999999986 × 6371000     		dl = 738.590029999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92158204-0.92146611) × R
    0.000115929999999986 × 6371000     		dr = 738.590029999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00395415-2.00414590) × cos(0.92158204) × R
    0.000191749999999935 × 0.604560725443044 × 6371000     		do = 738.555111209446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00395415-2.00414590) × cos(0.92146611) × R
    0.000191749999999935 × 0.60465306647159 × 6371000     		du = 738.667918634303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92158204)-sin(0.92146611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604560725443044-0.60465306647159)×R²
    abs(2.00414590-2.00395415)×9.23410285458282e-05×R²
    0.000191749999999935×9.23410285458282e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.23410285458282e-05×40589641000000     		ar = 545531.101575526m²