Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26834 / 12594
↖ ↑ ↗
← N 38.393339°
E114.807129°		 ← 957.48 m → N 38.393339°
E114.818115°		 →
↑
957.50 m
↓
↑
957.50 m
↓
N 38.384728°
E114.807129°		 ← 957.59 m →
916 838 m²		 N 38.384728°
E114.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818923950195312 y=0.384353637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818923950195312 × 215)
    floor (0.818923950195312 × 32768)
    floor (26834.5)     		tx = 26834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.384353637695312 × 215)
    floor (0.384353637695312 × 32768)
    floor (12594.5)     		ty = 12594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26834 / 12594 ti = "15/26834/12594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26834/12594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26834 ÷ 215
    26834 ÷ 32768     		x = 0.81890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12594 ÷ 215
    12594 ÷ 32768     		y = 0.38433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81890869140625 × 2 - 1) × π
    0.6378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00376240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38433837890625 × 2 - 1) × π
    0.2313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.726723398240051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00376240} λ = 2.00376240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.726723398240051))-π/2
    2×atan(2.06829252190301)-π/2
    2×1.12044325060691-π/2
    2.24088650121382-1.57079632675     		φ = 0.67009017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00376240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.807129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67009017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.393339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26834 KachelY 12594 2.00376240 0.67009017 114.807129 38.393339
    Oben rechts KachelX + 1 26835 KachelY 12594 2.00395415 0.67009017 114.818115 38.393339
    Unten links KachelX 26834 KachelY + 1 12595 2.00376240 0.66993988 114.807129 38.384728
    Unten rechts KachelX + 1 26835 KachelY + 1 12595 2.00395415 0.66993988 114.818115 38.384728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67009017-0.66993988) × R
    0.000150289999999997 × 6371000     		dl = 957.497589999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67009017-0.66993988) × R
    0.000150289999999997 × 6371000     		dr = 957.497589999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00376240-2.00395415) × cos(0.67009017) × R
    0.000191750000000379 × 0.783765668387993 × 6371000     		do = 957.478903307149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00376240-2.00395415) × cos(0.66993988) × R
    0.000191750000000379 × 0.783858998141839 × 6371000     		du = 957.592918597641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67009017)-sin(0.66993988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783765668387993-0.783858998141839)×R²
    abs(2.00395415-2.00376240)×9.33297538466826e-05×R²
    0.000191750000000379×9.33297538466826e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.33297538466826e-05×40589641000000     		ar = 916838.328801267m²