Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26833 / 25114
↖ ↑ ↗
← S 68.760277°
E114.796143°		 ← 442.54 m → S 68.760277°
E114.807129°		 →
↑
442.53 m
↓
↑
442.53 m
↓
S 68.764256°
E114.796143°		 ← 442.46 m →
195 820 m²		 S 68.764256°
E114.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818893432617188 y=0.766433715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818893432617188 × 215)
    floor (0.818893432617188 × 32768)
    floor (26833.5)     		tx = 26833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766433715820312 × 215)
    floor (0.766433715820312 × 32768)
    floor (25114.5)     		ty = 25114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26833 / 25114 ti = "15/26833/25114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26833/25114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26833 ÷ 215
    26833 ÷ 32768     		x = 0.818878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25114 ÷ 215
    25114 ÷ 32768     		y = 0.76641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818878173828125 × 2 - 1) × π
    0.63775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00357066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.5328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67395653473236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00357066} λ = 2.00357066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67395653473236))-π/2
    2×atan(0.187503731069493)-π/2
    2×0.185351554347184-π/2
    0.370703108694368-1.57079632675     		φ = -1.20009322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00357066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20009322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.760277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26833 KachelY 25114 2.00357066 -1.20009322 114.796143 -68.760277
    Oben rechts KachelX + 1 26834 KachelY 25114 2.00376240 -1.20009322 114.807129 -68.760277
    Unten links KachelX 26833 KachelY + 1 25115 2.00357066 -1.20016268 114.796143 -68.764256
    Unten rechts KachelX + 1 26834 KachelY + 1 25115 2.00376240 -1.20016268 114.807129 -68.764256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20009322--1.20016268) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dl = 442.529659999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20009322--1.20016268) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dr = 442.529659999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00357066-2.00376240) × cos(-1.20009322) × R
    0.000191739999999996 × 0.362270868218767 × 6371000     		do = 442.541231470599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00357066-2.00376240) × cos(-1.20016268) × R
    0.000191739999999996 × 0.362206125563978 × 6371000     		du = 442.462143427114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20009322)-sin(-1.20016268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362270868218767-0.362206125563978)×R²
    abs(2.00376240-2.00357066)×6.47426547891183e-05×R²
    0.000191739999999996×6.47426547891183e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.47426547891183e-05×40589641000000     		ar = 195820.121375399m²