Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26825 / 7616
↖ ↑ ↗
← N 79.749932°
W 32.645874°		 ← 108.69 m → N 79.749932°
W 32.640381°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 79.748954°
W 32.645874°		 ← 108.70 m →
11 814 m²		 N 79.748954°
W 32.640381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409324645996094 y=0.116218566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409324645996094 × 216)
    floor (0.409324645996094 × 65536)
    floor (26825.5)     		tx = 26825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116218566894531 × 216)
    floor (0.116218566894531 × 65536)
    floor (7616.5)     		ty = 7616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26825 / 7616 ti = "16/26825/7616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26825/7616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26825 ÷ 216
    26825 ÷ 65536     		x = 0.409317016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7616 ÷ 216
    7616 ÷ 65536     		y = 0.1162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409317016601562 × 2 - 1) × π
    -0.181365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56977799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1162109375 × 2 - 1) × π
    0.767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4114177984873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56977799} λ = -0.56977799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4114177984873))-π/2
    2×atan(11.1497580541052)-π/2
    2×1.48134760986743-π/2
    2.96269521973487-1.57079632675     		φ = 1.39189889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56977799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.645874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39189889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.749932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26825 KachelY 7616 -0.56977799 1.39189889 -32.645874 79.749932
    Oben rechts KachelX + 1 26826 KachelY 7616 -0.56968212 1.39189889 -32.640381 79.749932
    Unten links KachelX 26825 KachelY + 1 7617 -0.56977799 1.39188183 -32.645874 79.748954
    Unten rechts KachelX + 1 26826 KachelY + 1 7617 -0.56968212 1.39188183 -32.640381 79.748954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39189889-1.39188183) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39189889-1.39188183) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56977799--0.56968212) × cos(1.39189889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177944714972114 × 6371000     		do = 108.686455641101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56977799--0.56968212) × cos(1.39188183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177961502676912 × 6371000     		du = 108.696709365878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39189889)-sin(1.39188183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177944714972114-0.177961502676912)×R²
    abs(-0.56968212--0.56977799)×1.67877047983489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67877047983489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67877047983489e-05×40589641000000     		ar = 11813.6076706793m²