Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26825 / 25065
↖ ↑ ↗
← S 68.564399°
E114.708252°		 ← 446.43 m → S 68.564399°
E114.719238°		 →
↑
446.42 m
↓
↑
446.42 m
↓
S 68.568414°
E114.708252°		 ← 446.35 m →
199 276 m²		 S 68.568414°
E114.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818649291992188 y=0.764938354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818649291992188 × 215)
    floor (0.818649291992188 × 32768)
    floor (26825.5)     		tx = 26825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764938354492188 × 215)
    floor (0.764938354492188 × 32768)
    floor (25065.5)     		ty = 25065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26825 / 25065 ti = "15/26825/25065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26825/25065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26825 ÷ 215
    26825 ÷ 32768     		x = 0.818634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25065 ÷ 215
    25065 ÷ 32768     		y = 0.764923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818634033203125 × 2 - 1) × π
    0.63726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00203668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.52984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66456090240683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00203668} λ = 2.00203668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66456090240683))-π/2
    2×atan(0.189273749385835)-π/2
    2×0.187060906816664-π/2
    0.374121813633328-1.57079632675     		φ = -1.19667451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00203668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19667451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.564399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26825 KachelY 25065 2.00203668 -1.19667451 114.708252 -68.564399
    Oben rechts KachelX + 1 26826 KachelY 25065 2.00222842 -1.19667451 114.719238 -68.564399
    Unten links KachelX 26825 KachelY + 1 25066 2.00203668 -1.19674458 114.708252 -68.568414
    Unten rechts KachelX + 1 26826 KachelY + 1 25066 2.00222842 -1.19674458 114.719238 -68.568414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19667451--1.19674458) × R
    7.00700000000332e-05 × 6371000     		dl = 446.415970000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19667451--1.19674458) × R
    7.00700000000332e-05 × 6371000     		dr = 446.415970000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00203668-2.00222842) × cos(-1.19667451) × R
    0.000191739999999996 × 0.365455231789566 × 6371000     		do = 446.431172119155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00203668-2.00222842) × cos(-1.19674458) × R
    0.000191739999999996 × 0.365390007710217 × 6371000     		du = 446.351495979203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19667451)-sin(-1.19674458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365455231789566-0.365390007710217)×R²
    abs(2.00222842-2.00203668)×6.52240793492243e-05×R²
    0.000191739999999996×6.52240793492243e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.52240793492243e-05×40589641000000     		ar = 199276.220470595m²