Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26823 / 10855
↖ ↑ ↗
← N 51.788232°
E114.686279°		 ← 755.67 m → N 51.788232°
E114.697266°		 →
↑
755.73 m
↓
↑
755.73 m
↓
N 51.781435°
E114.686279°		 ← 755.78 m →
571 123 m²		 N 51.781435°
E114.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818588256835938 y=0.331283569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818588256835938 × 215)
    floor (0.818588256835938 × 32768)
    floor (26823.5)     		tx = 26823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331283569335938 × 215)
    floor (0.331283569335938 × 32768)
    floor (10855.5)     		ty = 10855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26823 / 10855 ti = "15/26823/10855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26823/10855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26823 ÷ 215
    26823 ÷ 32768     		x = 0.818572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10855 ÷ 215
    10855 ÷ 32768     		y = 0.331268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818572998046875 × 2 - 1) × π
    0.63714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00165318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331268310546875 × 2 - 1) × π
    0.33746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06017247199716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00165318} λ = 2.00165318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06017247199716))-π/2
    2×atan(2.88686885036934)-π/2
    2×1.23733574384494-π/2
    2.47467148768988-1.57079632675     		φ = 0.90387516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00165318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90387516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.788232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26823 KachelY 10855 2.00165318 0.90387516 114.686279 51.788232
    Oben rechts KachelX + 1 26824 KachelY 10855 2.00184493 0.90387516 114.697266 51.788232
    Unten links KachelX 26823 KachelY + 1 10856 2.00165318 0.90375654 114.686279 51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 26824 KachelY + 1 10856 2.00184493 0.90375654 114.697266 51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90387516-0.90375654) × R
    0.000118619999999958 × 6371000     		dl = 755.728019999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90387516-0.90375654) × R
    0.000118619999999958 × 6371000     		dr = 755.728019999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00165318-2.00184493) × cos(0.90387516) × R
    0.000191749999999935 × 0.618569791450217 × 6371000     		do = 755.669136099643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00165318-2.00184493) × cos(0.90375654) × R
    0.000191749999999935 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 755.782991563178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90387516)-sin(0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618569791450217-0.618662990374151)×R²
    abs(2.00184493-2.00165318)×9.31989239340014e-05×R²
    0.000191749999999935×9.31989239340014e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.31989239340014e-05×40589641000000     		ar = 571123.362551374m²